29、原根与整数阶的深入探究

原根与整数阶的深入探究

1. 引言

在数论的研究中，整数模 $n$ 的乘法结构是一个重要的领域。我们将探讨整数模 $n$ 的阶以及原根的概念，原根在离散对数、素性测试等方面有着广泛的应用。

2. 整数的阶

首先，我们来了解整数模 $n$ 的阶的定义。根据欧拉定理，如果 $n$ 是正整数，$a$ 是与 $n$ 互质的整数，那么 $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$，其中 $\varphi(n)$ 是欧拉函数，表示小于等于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数的个数。

• 定义 ：设 $a$ 和 $n$ 是互质的整数，$a \neq 0$，$n$ 为正整数，使得 $a^x \equiv 1 \pmod{n}$ 的最小正整数 $x$ 称为 $a$ 模 $n$ 的阶，记为 $\text{ord}_n a$。
• 示例 ：
  • 求 $2$ 模 $7$ 的阶，计算 $2$ 的幂模 $7$ 的最小正余数：
    • $2^1 \equiv 2 \pmod{7}$
    • $2^2 \equiv 4 \pmod{7}$
    • $2^3 \equiv 1 \pmod{7}$
      所以，$\text{ord}_7 2 = 3$。
  • 求 $3$ 模 $7$ 的阶，计算 $3$ 的幂模 $7$ 的最小正余数：
    • $3^1 \equiv 3