循环群：一个元素不断作用生成的群

循环群：一个元素不断作用生成的群
例子：
< N 4 , + 4 > 是 以 1 为 生 成 元 的 循 环 群 因 为 2 = 1 + 1 4 = 1 2 3 = 1 + 1 4 + 1 4 = 1 3 0 = 2 + 2 4 = 1 4 < N 4 , + 4 > = { 1 4 , 1 ， 1 2 ， 1 3 } \color{blue} <N_4,+_4>是以1为生成元的循环群\\ 因为2=1+1_4=1^2\\3=1+1_4+1_4=1^3\\0=2+2_4=1^4\\ <N_4,+_4>=\{ 1^4,1，1^2，1^3\} <N4​,+4​>是以1为生成元的循环群因为2=1+14​=123=1+14​+14​=130=2+24​=14<N4​,+4​>={14,1，12，13}

< N , + > = { … … 1 − 3 , 1 − 2 , 1 − 1 , 0 , 1 ， 1 2 ， 1 3 … … } = { … … ( − 1 ) 3 , ( − 1 ) 2 , ( − 1 ) 1 , 0 , ( − 1 ) − 1 ， ( − 1 ) − 2 ， ( − 1 ) − 3 … … } \color{red} <N,+>=\{ ……1^{-3},1^{-2},1^{-1},0,1，1^2，1^3……\}\\= \{ ……(-1)^{3},(-1)^{2},(-1)^{1},0,(-1)^{-1}，(-1)^{-2}，(-1)^{-3}……\} <N,+>={……1−3,1−2,1−1,0,1，12，13……}={……(−1)3,(−1)2,(−1)1,0,(−1)−1，(−1)−2，(−1)−3……}

定义：

$$<G,\ast >为群，\exists g\in G,\forall x\in G,\exists i\in N,s.t.x=g^i,并称g为G的生成元$$

类别：

根 据 g 的 阶 分 类 { n 阶 循 环 群 ( 循 环 周 期 为 n ) ： G = { g 1 , g 2 , … … ， g n = e } 无 限 循 环 群 ( 循 环 周 期 是 无 限 的 ) ： G = { … … g − 2 , g − 1 , g 0 = e , g 1 , g 2 , … … } 根据g的阶分类 \left\{\begin{matrix} n阶循环群(循环周期为n)：G=\{ g^1,g^2,……，g^n=e \}\\ 无限循环群(\tiny 循环周期是无限的\normalsize )：G=\{……g^{-2},g^{-1}, g^0=e,g^1,g^2,…… \} \end{matrix}\right. 根据g的阶分类{n阶循环群(循环周期为n)：G={g1,g2,……，gn=e}无限循环群(循环周期是无限的)：G={……g−2,g−1,g0=e,g1,g2,……}​

对于有限循环群 |G|=n当且仅当|g|=n

$$证明\{\begin{array}{l}必要性：已知|G|=n,设|g|=m，由拉格朗日定理n=k\ast m,所以m\le n,设a\in G,a=g^s\\ s=mg+r(带余除法)，a=g^s=g^r,由此G中最多有m个元素，|G|=n\le m，矛盾\\ 充分性：已知|g|=n,\forall a\in G,a=g^k=g^{n\ast q+r}=g^r因而G中最多有n个元素，|G|\le n\\ 下面证G中的元素不同，若存在1\le i<j\le n,g^i=g^j,则g^{j-i}=g^j\ast g^{(-1)i}=g^j\ast {(g^i)}^{-1}=e\\ 则G的阶数由n变为了j-i\\ 所以G中的元素互不相同|G|=n\end{array}$$

生成元g与g的个数

$$\{\begin{array}{l}无限循环群：G有两个生成元g与g^{-1}\\ n阶循环群：有\Phi (n)个生成元（\Phi (n)为欧拉函数，为小于等于n与n互素的整数的个数）\end{array}$$

循环群的子群

循 环 群 的 子 群 仍 是 循 环 群 { 无 限 循 环 群 的 子 群 除 了 < { e } , ∗ > 外 都 是 无 限 的 n 阶 循 环 群 ， 对 于 n 的 每 个 正 因 子 d , 恰 好 有 一 个 d 阶 子 群 \begin{array}{l}\mathrm{循环群的子群仍是循环群}\\\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{无限循环群的子群除了}<\{e\},\ast>\mathrm{外都是无限的}\\n\mathrm{阶循环群}，\mathrm{对于}n\mathrm{的每个正因子}d,\mathrm{恰好有一个}d\mathrm{阶子群}\end{array}\right. 循环群的子群仍是循环群​{无限循环群的子群除了<{e},∗>外都是无限的n阶循环群，对于n的每个正因子d,恰好有一个d阶子群​

素数阶群一定是 循环 群，它的生成元是 任一非单位元

证明如下:任一元素的阶整除群的阶。现在群的阶是素数p,所以元素的阶要么是1要么是p.
G中只有一个单位元，其它元素的阶都不等于1,所以都是p。
任取一个非单位元，它的阶等于p,所以它生成的G的循环子群的阶也是p,从而等于整个群G。所以G等于它的任一非单位元生成的循环群