博客介绍了循环群 G=<a> 的两个定理。定理一表明无限循环群 G 的生成元只有 a 和 a−1；定理二指出 n 阶有限循环群 G 的生成元有 φ(n)个，为 ak(1⩽k⩽n,(k,n)=1)，并给出了两个定理的详细证明过程。
设 G=<a>G=<a>G=<a> 是循环群
定理一： 若 GGG 为无限循环群，则 GGG 的生成元只有 aaa 和 a−1a^{-1}a−1
定理二： 若 GGG 为 nnn 阶有限循环群，则 GGG 的生成元共有 φ(n)\varphi(n)φ(n)个,它们是 ak(1⩽k⩽n,(k,n)=1a^k(1\leqslant k\leqslant n,(k,n)=1ak(1⩽k⩽n,(k,n)=1).
定理一证明： 显然 ⟨a−1⟩=⟨a⟩=G.\langle a^{-1}\rang=\langle a\rangle=G.⟨a−1⟩=⟨a⟩=G. 另一方面，由于 [G:⟨an⟩]=∣n∣[G:\lang a^n\rang]=|n|[G:⟨an⟩]=∣n∣,可知 ⟨an⟩=G ⟺ ∣n∣=1 ⟺ n=±1\lang a^n\rang=G\iff|n|=1\iff n=\pm 1⟨an⟩=G⟺∣n∣=1⟺n=±1
定理二证明： 由于 aaa 的阶为 nnn,从而 aka^kak 的阶是 n/(k,n)n/(k,n)n/(k,n).于是 ⟨ak⟩=G ⟺ ak\lang a^k\rang=G\iff a^k⟨ak⟩=G⟺ak 的阶为 nnn ⟺ (k,n)=1\iff (k,n)=1⟺(k,n)=1
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