13、群论中的正规子群、商群、同态与同构

群论中的正规子群、商群、同态与同构

1. 正规子群与商群相关内容

在群论中，对于群 (G)，若其阶为素数，则该群是循环群。通过相关推理可知，(\frac{G}{Z(G)}) 为循环群时 (G) 是阿贝尔群，这会产生矛盾，所以 (|Z(G)|\neq p^2)，又因为 (Z(G)\neq {e})，故 (|Z(G)| = p)。

1.1 阿贝尔群的柯西定理

设 (G) 是有限阿贝尔群，(p) 是素数且 (p\mid |G|)，则 (G) 中存在阶为 (p) 的元素。证明采用对 (|G| = n) 进行归纳的方法：
- 当 (n = 2) 时，由于 (G) 是阿贝尔群当且仅当 (\forall x\in G,x^2 = e)，结果成立。
- 假设对于所有阶小于 (|G|) 的阿贝尔群，该定理成立。
- 若 (G) 没有非平凡子群，那么 (G) 一定是素数阶群，因为合数阶群都有非平凡子群。又因为 (p) 是素数且 (p\mid |G|)，所以 (|G| = p)，而素数阶群是循环群，即 (G=\langle x\rangle) 且 (|x| = |G| = p)，定理得证。
- 若 (G) 有非平凡子群 (H)（(H\neq {e},G)）：
- 若 (p\mid |H|)，由于 (H) 是阿贝尔群且 (|H|\lt |G|)，根据归纳假设，(H) 中存在阶为 (p) 的元素 (x)，又因为 (x\in H) 则 (x\in G)，定理成立。
- 若 (p\nmid |H|)，因为阿贝尔群的子群都是正规子群，所以 (H) 是 (G) 的正规子群。由 (|G| = |G/H|\cdot |H|) 且 (p\mid |G|)