12、群论中的正规子群与商群

群论中的正规子群与商群

正规子群的判定

对于群 (G) 的非空子集 (H)，(H) 是 (G) 的正规子群的充要条件是 ((gx)(gy)^{-1} \in H) 对任意 (g \in G) 以及 (x, y \in H) 都成立。
- 充分性证明 ：若 (H) 是 (G) 的正规子群，对于 (g \in G) 和 (x, y \in H)，有 ((gx)(gy)^{-1} = (gx)(y^{-1}g^{-1}) = g(xy^{-1})g^{-1})。因为 (H) 是 (G) 的子群且 (x, y \in H)，所以 (xy^{-1} \in H)，又因为 (H) 是正规子群，所以 (g(xy^{-1})g^{-1} \in H)。
- 必要性证明 ：若 ((gx)(gy)^{-1} \in H) 对任意 (g \in G) 以及 (x, y \in H) 成立，取 (g = e)，可得 ((ex)(ey)^{-1} \in H)，即 (xy^{-1} \in H)，所以 (H) 是 (G) 的子群。再令 (g \in G) 和 (h \in H)，由 ((gh)(ge)^{-1} \in H) 可得 (ghg^{-1} \in H)，所以 (H) 是 (G) 的正规子群。

商群的定义与性质

正规子群具有特殊意义，利用关于正规子群的陪集集合，可以构造出新的群，称为商群。当群 (G) 的子群 (H) 是正规子群时，(G) 中 (H) 的左（或右）陪集集合本身构成一个群，记为 (G/H)。
- 定理 ：设 (G) 是群，(H) 是 (