3、群论基础：性质、证明与应用

群论基础：性质、证明与应用

1. 群的基本概念与示例

1.1 群的定义与示例

群是一个集合 (G) 与一个二元运算 (o) 组成的代数结构，需满足封闭性、结合律、存在单位元以及每个元素都有逆元。下面通过几个具体例子来理解群的概念。

示例一

集合 (G = {f_1, f_2, f_3, f_4})，其运算 (o) 的凯莱表如下：
| (o) | (f_1) | (f_2) | (f_3) | (f_4) |
| — | — | — | — | — |
| (f_1) | (f_1) | (f_2) | (f_3) | (f_4) |
| (f_2) | (f_2) | (f_1) | (f_4) | (f_3) |
| (f_3) | (f_3) | (f_4) | (f_1) | (f_2) |
| (f_4) | (f_4) | (f_3) | (f_2) | (f_1) |

从凯莱表可以清晰看出，((G, o)) 是一个阿贝尔群，单位元是 (f_1)，且 (f_i^{-1} = f_i)（(i = 1, 2, 3, 4)）。

示例二

集合 (G = {f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6})，其运算 (o) 的凯莱表如下：
| (o) | (f_1) | (f_2) | (f_3) | (f_4) | (f_5) | (f_6) |
| — | — | — | — | — | — | — |
| (f_1) | (f_1) | (f_2) | (f_3) | (f_4) |