线性代数笔记9：特征值在微分方程中的应用

本节将矩阵的特征值与微分方程联系在一起，从另一个角度更好地了解特征值。

在差分方程中的应用

首先回顾由差分方程$u_{k+1} = Au_{k}$描述的离散动力系统的长期行为，即$k\Rightarrow \infty$时解的性质。

设$A$可对角化，即存在可逆矩阵$S=(x_1,...,x_n)$，使得$S^{-1 }A S = \Lambda$为对角阵。

设$S^{-1} u_0 = (c_1,...,c_n)^T$,即$u_0 = c_1x_1 + ... +c_nx_n$。

$$u_k = A^ku_0 = S\Lambda ^kS^{-1}u_0 = c_1\lambda_1^kx_1 + ... + c_n\lambda_n^kx_n$$

可以看出，$u_k$的增长因子$\lambda_i^k$支配，因此系统的稳定性依赖于$A$的特征值。

当所有特征值$|\lambda_i|<1$时，是稳定的；

当所有特征值$|\lambda_i|\le1$时，是中性稳定的；

当至少有一个特征值$|\lambda_i|>1$时，是不稳定的；

因此，Markov过程是中性稳定的，Fibonacci数列是不稳定的。

引言

设关于t的向量值可导函数$u = u(t) = \begin{pmatrix}u_1(t) \\ .... \\ u_n(t)\end{pmatrix}$，满足：

$$\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = Au$$

其中$A = (a_{ij})$为$n$阶常数矩阵，求解$u = u(t)$

• 若