第二十六讲 有特殊特征值的微分方程组

本文通过温度扩散问题引入,探讨了一类有特殊特征值的微分方程组。建立了数学模型并求解特征值,讨论了完备与不完备特征值的概念,同时介绍了主轴定理(谱定理)以及如何处理复数特征值的问题。

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一,温度扩散问题:
假设有三个房间,房间初始温度分别为:高、中、低,但经过一段时间后,三个房间互相交换热量,最终稳定在同一个温度上。假设房间温度分别为:X1,X2,X3X_{1},X_{2},X_{3}X1,X2,X3,如图:
在这里插入图片描述
温度Xi(t)X_{i}(t)Xi(t)是时间的函数

二,建立微分方程组:
根据温度变化率,建立数学模型:X1′=a(X3−X1)+a(X2−X1){X_{1}}'=a(X_{3}-X_{1})+a(X_{2}-X_{1})X1=a(X3X1)+a(X2X1),a是传导常数
化简:X1′=−2aX1+aX2+aX3{X_{1}}'=-2aX_{1}+aX_{2}+aX_{3}X1=2aX1+aX2+aX3
假设a=1:X1′=−2X1+X2+X3{X_{1}}'=-2X_{1}+X_{2}+X_{3}X1=2X1+X2+X3
同理,建立方程组:
{ X1′=−2X1+X2+X3X2′=X1−2X2+X3X3′=X1+X2−2X3\left\{\begin{matrix}{X_{1}}'=-2X_{1}+X_{2}+X_{3}\\ {X_{2}}'=X_{1}-2X_{2}+X_{3} \\ {X_{3}}'=X_{1}+X_{2}-2X_{3}\end{matrix}\right.X1=2X1+X2+X3X2=X12X2+X3X3=X1+X22X3
用矩阵表示:
[X1′X2′X3′]=[−2111−2111−2][X1X2X3]\begin{bmatrix}{X_{1}}&#x27;\\ {X_{2}}&#x27;\\ {X_{3}}&#x27;\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 &amp; 1 &amp; 1\\ 1 &amp; -2 &amp; 1\\ 1 &amp; 1 &amp; -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X_{1}\\ X_{2}\\ X_{3}\end{bmatrix}X1X2X3=211121112X1X2X3<

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