第二十六讲有特殊特征值的微分方程组

最新推荐文章于 2025-05-27 10:30:35 发布

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分类专栏：微分方程文章标签：麻省理工微分方程

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本文通过温度扩散问题引入，探讨了一类有特殊特征值的微分方程组。建立了数学模型并求解特征值，讨论了完备与不完备特征值的概念，同时介绍了主轴定理（谱定理）以及如何处理复数特征值的问题。

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一，温度扩散问题：
假设有三个房间，房间初始温度分别为：高、中、低，但经过一段时间后，三个房间互相交换热量，最终稳定在同一个温度上。假设房间温度分别为： $X_{1},X_{2},X_{3}$ ，如图：
在这里插入图片描述
温度 $X_{i}(t)$ 是时间的函数

二，建立微分方程组：
根据温度变化率，建立数学模型： $X1′=a(X3−X1)+a(X2−X1){X_{1}}'=a(X_{3}-X_{1})+a(X_{2}-X_{1})$ ，a是传导常数
化简： $X1′=−2aX1+aX2+aX3{X_{1}}'=-2aX_{1}+aX_{2}+aX_{3}$
假设a=1： $X1′=−2X1+X2+X3{X_{1}}'=-2X_{1}+X_{2}+X_{3}$
同理，建立方程组：
$X1′=−2X1+X2+X3X2′=X1−2X2+X3X3′=X1+X2−2X3\left\{\begin{matrix}{X_{1}}'=-2X_{1}+X_{2}+X_{3}\\ {X_{2}}'=X_{1}-2X_{2}+X_{3} \\ {X_{3}}'=X_{1}+X_{2}-2X_{3}\end{matrix}\right.$
用矩阵表示：
$[X1′X2′X3′]=[−2111−2111−2][X1X2X3]\begin{bmatrix}{X_{1}}'\\ {X_{2}}'\\ {X_{3}}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1\\ 1 & -2 & 1\\ 1 & 1 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X_{1}\\ X_{2}\\ X_{3}\end{bmatrix}$