一,温度扩散问题:
假设有三个房间,房间初始温度分别为:高、中、低,但经过一段时间后,三个房间互相交换热量,最终稳定在同一个温度上。假设房间温度分别为:X1,X2,X3X_{1},X_{2},X_{3}X1,X2,X3,如图:
温度Xi(t)X_{i}(t)Xi(t)是时间的函数
二,建立微分方程组:
根据温度变化率,建立数学模型:X1′=a(X3−X1)+a(X2−X1){X_{1}}'=a(X_{3}-X_{1})+a(X_{2}-X_{1})X1′=a(X3−X1)+a(X2−X1),a是传导常数
化简:X1′=−2aX1+aX2+aX3{X_{1}}'=-2aX_{1}+aX_{2}+aX_{3}X1′=−2aX1+aX2+aX3
假设a=1:X1′=−2X1+X2+X3{X_{1}}'=-2X_{1}+X_{2}+X_{3}X1′=−2X1+X2+X3
同理,建立方程组:
{
X1′=−2X1+X2+X3X2′=X1−2X2+X3X3′=X1+X2−2X3\left\{\begin{matrix}{X_{1}}'=-2X_{1}+X_{2}+X_{3}\\ {X_{2}}'=X_{1}-2X_{2}+X_{3} \\ {X_{3}}'=X_{1}+X_{2}-2X_{3}\end{matrix}\right.⎩⎨⎧X1′=−2X1+X2+X3X2′=X1−2X2+X3X3′=X1+X2−2X3
用矩阵表示:
[X1′X2′X3′]=[−2111−2111−2][X1X2X3]\begin{bmatrix}{X_{1}}'\\ {X_{2}}'\\ {X_{3}}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1\\ 1 & -2 & 1\\ 1 & 1 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X_{1}\\ X_{2}\\ X_{3}\end{bmatrix}⎣⎡X1′X2′X3′⎦⎤=⎣⎡−2111−2111−2⎦⎤⎣⎡X1X2X3<