bzoj 2423: [HAOI2010]最长公共子序列（DP）

最新推荐文章于 2020-01-13 20:23:43 发布

clover_hxy

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分类专栏：动态规划文章标签： dp

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本文介绍了一种求解最长上升子序列及其数量的方法，并通过动态规划实现了算法。文章详细解释了状态转移方程和计数原理，最后给出了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

传送门

题目大意：求最长上升子序列及个数

题解

第一问O(n^2)直接转移就可以。
$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]) \space \space s[i]!=s1[j]$
$f[i][j]=f[i-1][j-1]+1 \space \space s[i]=s1[j]$
这些都比较容易，关键是怎么求方案数呢？
如果 $g[i][j]$ 也按照上述方式去推，就是相等的时候直接继承;不等的时候如果 $f[i][j-1]=f[i-1][j]$ 就加和，否则继承较大的。这样计算出的结果是所有本质不同的串的个数。
如何求个数？当 $s[i]=s1[j]$ 时，发现 $f[i][j]$ 更新后面的时候只用到了路径上的信息，如果 $f[i-1][j]=f[i][j]$ 的话后面接的时候其实也可以从 $f[i-1][j]$ 后面接，也就是 $f[i-1][j-1]+1$ 是新产生的,而 $f[i-1][j],f[i][j-1]$ 相当于是求前缀和的样子。会不会算重复呢? $f[i-1][j-1]$ 不可能去更新 $f[i-1][j],f[i][j-1]$ ，所以新产生的路径一定与之前的没有交集。
当 $s[i]!=s1[j]$ 时，如果 $g[i][j]=g[i-1][j]+g[i][j-1]$ 那么 $g[i-1][j-1]$ 相当于被计算了两次，还需要减掉一次。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 5003
#define p 100000000
using namespace std;
char s[N],s1[N];
int f[3][N],g[3][N],n,m;
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    scanf("%s",s+1); n=strlen(s+1);
    scanf("%s",s1+1); m=strlen(s1+1);
    g[0][0]=1; n--; m--;
    for (int j=1;j<=m;j++) g[0][j]=1;
    g[1][0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++){
     int t=i&1; int t1=(i-1)&1;
     for (int j=1;j<=m;j++){
        if (s[i]==s1[j]) {
          f[t][j]=f[t1][j-1]+1;
          g[t][j]=g[t1][j-1];
          if (f[t][j]==f[t1][j]) (g[t][j]+=g[t1][j])%=p;
          if (f[t][j]==f[t][j-1]) (g[t][j]+=g[t][j-1])%=p;
        }
        else {
            f[t][j]=max(f[t][j-1],f[t1][j]);
            g[t][j]=0;
            if (f[t][j]==f[t1][j-1]) (g[t][j]-=g[t1][j-1])%=p;
            if (f[t][j]==f[t1][j]) (g[t][j]+=g[t1][j])%=p;
            if (f[t][j]==f[t][j-1]) (g[t][j]+=g[t][j-1])%=p;
         }
     }
    }
    printf("%d\n%d\n",f[n&1][m],(g[n&1][m]%p+p)%p);
}