[BZOJ2423][HAOI2010]最长公共子序列（DP）

最新推荐文章于 2018-08-30 22:16:01 发布

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本文介绍了一种求解两个字符串的最长公共子序列长度及其个数的方法，通过动态规划算法实现，具体包括状态定义、状态转移方程，并提供了一个采用滚动数组优化内存使用的C++代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给定两个字符串 $s_1$ ， $s_2$ ，求这两个字符串的最长公共子序列长度和最长公共子序列的个数。
设 $f[i][j]$ 为字符串 $s_1$ 到了第 $i$ 个字符， $s_2$ 到了第 $j$ 个字符的最长公共子序列长度， $g[i][j]$ 为字符串 $s_1$ 到了第 $i$ 个字符， $s_2$ 到了第 $j$ 个字符的最长公共子序列个数。
第一问就是裸的最长公共子序列问题，注意滚动数组即可。
第二问，转移方程为：
1、当 $s_1[i]==s_2[j]$ 时， $g[i][j]+=g[i-1][j-1]$ 。
2、当 $f[i-1][j]==f[i][j]$ 时， $g[i][j]+=g[i-1][j]$ 。
3、当 $f[i][j-1]==f[i][j]$ 时， $g[i][j]+=g[i][j-1]$ 。
4、当 $f[i-1][j-1]==f[i][j]$ 时， $g[i][j]-=g[i-1][j-1]$ 。
注意使用滚动数组，避免空间超限。
代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 5005, PYZ = 1e8;
int m, n, f[2][N], g[2][N]; char s1[N], s2[N];
int main() {
    scanf("%s", s1 + 1); scanf("%s", s2 + 1);
    m = strlen(s1 + 1) - 1, n = strlen(s2 + 1) - 1; int i, j;
    for (j = 0; j <= n; j++) g[0][j] = 1;
    for (i = 1; i <= m; i++) {
        int op = i & 1; g[op][0] = 1; for (j = 1; j <= n; j++) {
            if (s1[i] == s2[j]) f[op][j] = f[op ^ 1][j - 1] + 1,
                g[op][j] = g[op ^ 1][j - 1];
            else f[op][j] = max(f[op ^ 1][j], f[op][j - 1]), g[op][j] = 0;
            if (f[op ^ 1][j] == f[op][j]) (g[op][j] += g[op ^ 1][j]) %= PYZ;
            if (f[op][j - 1] == f[op][j]) (g[op][j] += g[op][j - 1]) %= PYZ;
            if (f[op ^ 1][j - 1] == f[op][j])
                (g[op][j] -= g[op ^ 1][j - 1]) %= PYZ;
            if (g[op][j] < 0) g[op][j] += PYZ;
        }
    }
    printf("%d\n%d\n", f[m & 1][n], g[m & 1][n]);
    return 0;
}