54、量子物理中的自旋、磁场与多粒子系统

量子物理中的自旋、磁场与多粒子系统

1. 自旋与磁场的路径积分

在处理自旋与磁场的问题时，我们采用欧拉角表示法：
[g(\varphi, \theta, \psi) = e^{-i\varphi S_3}e^{-i\varphi S_2}e^{-i\psi S_3}|\uparrow\rangle]
路径积分的基本思想是将时间间隔 ((0,t)) 分割成非常薄的切片，在它们之间插入完备集，通过这种方式简化计算，最终以无限嵌套积分的形式得到完整的演化。对于自旋为 1/2 的粒子，完备集应涉及所有的空间和自旋自由度，其中空间部分通过矢量势相互作用，而自旋与磁场相互作用。

从时间 (t = 0) 的状态 (a) 到时间 (t) 的状态 (b) 的振幅 (A(t) = \langle a|U(0, t)|b\rangle)，可以通过将时间间隔从 (t_a) 到 (t_b) 分割成极短的间隔 (\epsilon) 来获得。这将矩阵元分解为一系列因子的乘积，每个因子代表在短时间 (\epsilon) 内的演化。令 (dg_i) 表示 (g) 在第 (i) 个间隔内的变化，我们需要对 (\prod_{i = 0}^{N} dg_i \equiv Dg) 进行积分，其中 (N) 非常大。接下来，我们需要在这些因子之间插入一个合适选择的单位分解，这是构建路径积分的关键步骤。

在每个持续时间为 (\epsilon) 的无穷小间隔内，有 (e^{-\epsilon \vec{B} \cdot \vec{S}} \sim 1 - \epsilon \vec{B} \cdot \vec{S})。因此：
[\langle g_{i + 1}|e^{-\epsilon \vec{