[CodeForces757E]Bash Plays with Functions

最新推荐文章于 2022-07-31 20:30:16 发布

Kelin__

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本文介绍了一个数论函数fr(n)的定义与计算方法，该函数依赖于整数n的质因数分解及其幂次，并利用狄利克雷卷积性质进行优化。通过对fr(n)的性质分析，文章提供了一种高效的预处理方案来加速计算过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意:

定义函数 $f_r(n)$ 在 $r=0$ 时为整数对 $(p,q)$ 满足 $p*q=n$ 且 $gcd(p,q)=1$ 的有序数对个数

在 $r\ge 1$ 时, $f_r=\sum_{u*v=n}\frac{f_{r-1}(u)+f_{r-1}(v)}2$

$q$ 组询问,每次给出 $r,n$ 求 $f_r(n)\mod 10^9+7$

$q\le10^6,0\le r\le10^6,1\le n\le10^6$

$f_r(n)=\sum_{d|n}f_{r-1}(d)$

$\Rightarrow f_r=f_{r-1}\times1$

这里 $\times$ 表示狄利克雷卷积

然后又有 $f_0(n)=2^{\sigma_0(n)}$

所以 $f_0$ 是积性函数,所以 $f_r$ 也是积性函数

$n=\prod p_i^{k_i} \Rightarrow f_r(n)=\prod f_r(p^{k_i})$

所以只要预处理出所有的 $f_r(p^j)$ 就ok了

设 $dp_{i,j}=f_i(p^j)=\sum_{d|p^j}f_{i-1}(p^j)=\sum_{k=0}^j f_{i-1}(p^k)=\sum_{k=0}^j dp_{i-1,k}$

前缀和优化一下就 $ok$ 了

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define re register int
#define fp(i,a,b) for(re i=a,I=b;i<=I;++i)
#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
char ss[1<<17],*A=ss,*B=ss;
inline char gc(){return A==B&&(B=(A=ss)+fread(ss,1,1<<17,stdin),A==B)?-1:*A++;}
template<class T>inline void sdf(T&x){
    char c;T y=1;while(c=gc(),(c<48||57<c)&&c!=-1)if(c=='-')y=-1;x=c^48;
    while(c=gc(),47<c&&c<58)x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);x*=y;
}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
template<class T>inline void we(T x){
    if(x<0)sr[++C]=45,x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
    if(C>1<<20)fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;
}
const int N=1e6+5,M=1e3+5,P=1e9+7;
int f[N][22],s[N][22],pr[M],is[M];
inline int pl(re x,re y){x+=y;return x-=x>=P?P:0;}
inline int solve(re r,re n){
    re ans=1,m=sqrt(n),t;
    fp(i,1,pr[0]){
        if(n==1||pr[i]>m)break;t=0;
        while(n%pr[i]==0)n/=pr[i],++t;
        ans=1ll*ans*f[r][t]%P;
    }
    if(n>1)ans=1ll*ans*f[r][1]%P;
    return ans;
}
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        file("oi");
    #endif
    fp(i,2,1e3){
        if(!is[i])pr[++pr[0]]=i;
        for(re j=1,x;j<=pr[0]&&(x=i*pr[j])<=1e3;++j){
            is[x]=1;if(i%pr[j]==0)break;
        }
    }
    f[0][0]=s[0][0]=1;
    fp(i,1,20)s[0][i]=s[0][i-1]+(f[0][i]=2);
    fp(i,1,1e6)fp(j,0,20){
        f[i][j]=s[i-1][j];
        s[i][j]=pl(j?s[i][j-1]:0,f[i][j]);
    }
    re r,n,T;sdf(T);
    while(T--)sdf(r),sdf(n),we(solve(r,n));
    fwrite(sr,1,C+1,stdout);
return 0;
}