反演+积性函数--CF757E Bash Plays with Functions

最新推荐文章于 2022-07-31 20:30:16 发布

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分类专栏： ——数论、数学—— 反演文章标签：数论反演

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本文探讨了积性函数的性质及其在数论问题中的应用，通过将复杂问题分解为质因子的处理，利用前缀和进行优化，实现快速求解。文中详细介绍了如何通过递归定义和卷积操作来简化计算过程。

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可以很容易推到

f_r(n) = sigema (d|n) f_r-1(d)

f_0(n) = 2^(n的质因子个数)

然后就不知道怎么办了

这是一个积性函数的应用小技巧

看出来f_0是一个积性函数，那么f_r也是积性函数

证明积性函数可以把表达式拆成关于质因子的多少次幂的式子，如果各个质因子互相独立就是积性函数

知道是积性函数后我们只需要考虑根基也就是f_r( p^t ) 时候的取值，我们可以预处理

然后观察式子，这个式子右边就相当于f_r-1 * 1 （n） *表示卷积

推一推式子可以发现，设f[i][j]表示f_i(p^j)

那么f[i][j]=sigema (k=0 to j) f[i-1][k]

前缀和优化即可

每次询问的时候暴力把n分解质因数再乘上相应答案

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define maxn 1000001
#define maxm 22
using namespace std;
int q,r,n,minp[maxn],pri[maxn],cnt;
int f[maxn][maxm],sum[maxn][maxm];
bool vis[maxn];
const int mod=1e9+7;

inline int rd(){
	int x=0,f=1;char c=' ';
	while(c<'0' || c>'9') f=c=='-'?-1:1,c=getchar();
	while(c<='9' && c>='0') x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}

inline void pre(){
	for(int i=2;i<maxn;i++){
		if(!vis[i]) pri[++cnt]=i,minp[i]=i;
		for(int j=1;j<=cnt && i*pri[j]<maxn;j++){
			vis[i*pri[j]]=1;
			minp[i*pri[j]]=pri[j];//每个数的最小质因子 
			if(i%pri[j]==0) break;
		}
	}
}

int main(){
	q=rd(); pre();
	f[0][0]=sum[0][0]=1;//n=1特殊考虑
	for(int i=1;i<maxm;i++)
		f[0][i]=2,sum[0][i]=sum[0][i-1]+f[0][i];//前缀和优化 
	for(int i=1;i<maxn;i++){
		for(int j=0;j<maxm;j++) f[i][j]=sum[i-1][j];
		sum[i][0]=f[i][0];
		for(int j=1;j<maxm;j++)
			sum[i][j]=(sum[i][j-1]+f[i][j])%mod;
	}
	while(q--){
		r=rd(); n=rd();
		LL ans=1;
		while(n>1){
			int t=minp[n],j=0;//每次把最小的素数拆出来 
			while(n%t==0) n/=t,j++;
			(ans*=f[r][j])%=mod; 
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}