BJ模拟 数列【特征多项式and生成函数】

题目大意：

有数列：

$$\begin{align}f_{m,n}= \begin{cases}a^n,n=1...m\\\sum\limits_{k=1}^m(a-1)f_{m,n-k-1} \end{cases} \end{align}$$

求：$hash=\sum\limits_{i=1}^mf_{i,n}base^i$。
其中：$n\le1e9,m\le200$或$n\le 3e6,m\le 1e9$

解题思路：

前一部分可以用特征多项式优化常系数线性递推做，主要是第二部分。

主要是要求$m<n$的$F_{m,n}$，当$m\ge n,f_{m,n}$都是$a^n$，求hash直接等比数列求和即可。

注意如果把非正数项都看作0，除了$f_{m,1}、f_{m,m+1}$，都有$f_{m,n}=af_{m,n-1}-(a-1)f_{n-m-1,m}$

考虑$f_m$的生成函数$F_m(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty f_{m,i}$，根据上述特点，有：
$F=axF-(a-1)x^{m+1}F+ax-ax^{m+1}$(第1项少算了a，第m+1项多算了a，要特殊考虑)。

解得：

$F=\frac{ax-ax^{m+1}}{1-ax+(a-1)x^{m+1}}$

由泰勒展开$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+...$，所以有：

$F=(ax-ax^{m+1})\sum\limits_{k=0}^\infty(ax+(1-a)x^{m+1})^k$

不妨设$G=\sum\limits_{k=0}^\infty(ax+(1-a)x^{m+1})^k$，那么$F=(ax-ax^{m+1})G$。
所以$F$的n次方系数$F_n=a(G_{n-1}-G_{n-m-1})$。

所以考虑如何求$G$的n次方系数$G_n$。
把$G$用二项式展开：$G=\sum\limits_{k=0}^\infty\sum\limits_{i=0}^k\binom{k}{i}a^{k-i}(1-a)^ix^{im+k}$

直接枚举$i$，那么$k=n-im$，根据调和级数求和，对所有$m<n$求$G_{m,n}$复杂度为$O(nlogn)$。

完结撒花，贴上代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')f=-1,c=getchar();
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}

const int N=3000005,M=505,mod=998244353,base=19260817;
int n,a;
struct Poly
{
    ll a[M];int deg;
    Poly(){memset(a,0,sizeof(a));}
    inline friend Poly mul(const Poly &A,const Poly &B,const Poly &C)
    {
        Poly res;res.deg=A.deg+B.deg;
        for(int i=0;i<=A.deg;i++)
            for(int j=0;j<=B.deg;j++)
                res.a[i+j]=(res.a[i+j]+A.a[i]*B.a[j])%mod;
        for(int i=res.deg;i>=C.deg;i--)
            for(int j=0;j<=C.deg;j++)
                res.a[i-C.deg+j]=(res.a[i-C.deg+j]-res.a[i]*C.a[j])%mod;
        res.deg=C.deg;
        return res;
    }
    inline friend Poly Pow(Poly A,int b,const Poly &C)
    {
        Poly res;res.a[0]=1,res.deg=C.deg;
        for(;b;b>>=1,A=mul(A,A,C))
            if(b&1)res=mul(res,A,C);
        return res;
    }
};

int calc(int m)
{
    Poly A,B,C;
    A.a[0]=B.a[1]=C.a[m]=1;
    A.deg=B.deg=C.deg=m;
    for(int i=1;i<=m;i++)A.a[i]=A.a[i-1]*a%mod;
    if(n<=m)return A.a[n];
    for(int i=0;i<m;i++)C.a[i]=1-a;
    B=Pow(B,n-1,C);
    int res=0;
    for(int i=0;i<m;i++)res=(res+B.a[i]*A.a[i+1])%mod;
    return (res+mod)%mod;
}

void solve1(int m)
{
    ll ans=0,bs=1,g;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        bs=bs*base%mod;
        g=calc(i);
        ans=(ans+g*bs)%mod;
    }
    printf("%d\n",ans);
}

ll fac[N],fac_inv[N],bin1[N],bin2[N];

int Pow(ll x,int y)
{
    ll res=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)
        if(y&1)res=res*x%mod;
    return res;
}

int C(int x,int y){return fac[x]*fac_inv[y]%mod*fac_inv[x-y]%mod;}

int G(int m,int n)
{
    ll res=0;
    for(int i=0;i*m<=n;i++)
    {
        int k=n-i*m;
        if(k<i)continue;
        res=(res+bin1[k-i]*bin2[i]%mod*C(k,i))%mod;
    }
    return res;
}

void solve2(int m)
{
    ll g,bs=1,ans=0;
    fac[0]=bin1[0]=bin2[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++)bin1[i]=bin1[i-1]*a%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++)bin2[i]=bin2[i-1]*(1-a+mod)%mod;
    fac_inv[n]=Pow(fac[n],mod-2);
    for(int i=n-1;i>=0;i--)fac_inv[i]=fac_inv[i+1]*(i+1)%mod;
    for(int i=1;i<n&&i<=m;i++)
    {
        bs=bs*base%mod,g=(ll)a*(G(i,n-1)-G(i,n-i-1)+mod)%mod;
        ans=(ans+g*bs)%mod;
    }
    if(n<=m)
    {
        bs=bs*base%mod;
        g=bs*(Pow(base,m-n+1)-1)%mod*Pow(base-1,mod-2)%mod;
        ans=(ans+bin1[n]*g)%mod;
    }
    printf("%d\n",ans);
}

int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    int m=getint();a=getint(),n=getint();
    if(m<=200)solve1(m);
    else solve2(m);
    return 0;
}