生成函数

前面我写到了求解常系数二阶线性递推式的特殊情况的求通项法——特征根法，这里我们对其进行推广，介绍一下生成函数。

定义

对于一个数列 {an}\{a_n\}{an​}，我们定义其的生成函数 （又名母函数）$$g(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$$
即原数列的幂级数的和的形式。
这里我采用从 $0$ 开始的数列表达法，中学教材中常常介绍的是从 $1$ 开始的，这无伤大雅。

注

对于常系数线性递推式，生成函数是一个有理分式，我们将这个分式的分母称作其特征多项式。之前我们讲的特征方程就是特征多项式的特例。我们可以通过求解特征多项式来解出系数举证进而求通项。

举例

例1

数列 {Cni}（i=0,2,...,n）\{C_n^i\}（i=0,2,...,n）{Cni​}（i=0,2,...,n） 的生成函数为 $$g(x)=(x+1{)}^n$$
此定理被称作二项式定理。

例2

数列 $1,1,1,1,...$ 的生成函数为 $$g(x)=\sum _{i=0}^{\infty }{x}^i=\underset{i\to \infty }{\lim }\frac{1-x^i}{1-x}$$
当 $x\in (0,1)$ 时，有 $$g(x)=\frac{1}{1-x}$$

例3

数列 $1,2,3,4,5,...n+1$ 的生成函数为 $$g(x)=\sum _{i=0}^n(i+1)x^i$$
运用错位相减法，我们知道$$(1-x)g(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{x}^i-n{x}^n=\frac{1-x^n}{1-x}-n{x}^n$$
当 $x\in (0,1)$ 且 $n\to \infty$ 时
$$g(x)=\frac{1}{(1-x{)}^2}$$

应用

求通项公式，具体实例可以上网搜索“生成函数求 $Fibonacci$ 通项式 ”、“生成函数求 $Hanoi$ 塔通项式”等。
方法归结起来，就是通过数列的特殊性质来求其生成函数的表达式，然后通过幂级数展开推导原数列的通项公式。