bzoj2741: 【FOTILE模拟赛】L【可持久化trie树+分块】

最新推荐文章于 2023-12-11 21:15:59 发布

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本文介绍了一种解决区间最大异或和问题的有效算法。通过使用前缀和及可持久化Trie树来优化查询效率，并采用分块预处理技术减少时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

FOTILE得到了一个长为N的序列A，为了拯救地球，他希望知道某些区间内的最大的连续XOR和。
即对于一个询问，你需要求出max(Ai xor Ai+1 xor Ai+2 … xor Aj)，其中l<=i<=j<=r。
为了体现在线操作，对于一个询问(x,y)：
l = min ( ((x+lastans) mod N)+1 , ((y+lastans) mod N)+1 ).
r = max ( ((x+lastans) mod N)+1 , ((y+lastans) mod N)+1 ).
其中lastans是上次询问的答案，一开始为0。

Input

第一行两个整数N和M。
第二行有N个正整数，其中第i个数为Ai，有多余空格。
后M行每行两个数x,y表示一对询问。

Output

共M行，第i行一个正整数表示第i个询问的结果。
Sample Input
3 3

1 4 3

0 1

4 3

Sample Output

HINT

N=12000，M=6000，x,y,Ai在signed longint范围内。

解题思路：

很容易想到转到前缀和优化，询问(l,r)相当于求[l-1,r]中两个前缀和异或最大值。

区间异或最大值肯定要建可持久化trie数。

对于询问区间(l,r)内两个数的异或最大值，朴素的想法枚举右端点i，取query(rt[l-1],rt[r],sum[i])的最大值，但这样一次查询是 $O(nlogn)$ 的，考虑优化。

其实可以分块预处理一些固定区间的答案，设f[i][j]表示第i块开头到第j个数这段区间的最大值，递推也比较简单:f[i][j]=max(f[i][j-1],query(rt[head[i]-1],rt[j],a[j])，询问时先找到l后第一个整块开头x，令ans=f[x][r]，再去查询前面至多 $\sqrt n$ 个数，用query(rt[l-1],rt[r],a[i])更新ans就行了。

时间复杂度是 $O(m\sqrt n logn)$ 的。注意可持久化trie树根的标号问题。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')f=-1,c=getchar();
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}

const int N=12005;
struct node{int cnt,son[2];}tr[1000000];
int n,m,S,tot,ans,rt[N],a[N],f[120][N];

void Insert(int y,int &x,int v,int dep)
{
    tr[x=++tot]=tr[y],tr[x].cnt++;
    if(dep==-1)return;
    int t=(v>>dep)&1;
    Insert(tr[y].son[t],tr[x].son[t],v,dep-1);
}

int query(int x,int y,int v,int res,int dep)
{
    if(dep==-1)return res;
    int t=((v>>dep)&1),dl=tr[tr[x].son[t^1]].cnt,dr=tr[tr[y].son[t^1]].cnt;
    if(dr-dl)return query(tr[x].son[t^1],tr[y].son[t^1],v,res|(1<<dep),dep-1);
    else return query(tr[x].son[t],tr[y].son[t],v,res,dep-1);
}

int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    n=getint(),m=getint(),S=sqrt(n);
    Insert(rt[0],rt[1],0,30);
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=a[i-1]^getint(),Insert(rt[i],rt[i+1],a[i],30);
    for(int i=0;i*S<=n;i++)
        for(int j=i*S+1;j<=n;j++)
            f[i][j]=max(f[i][j-1],query(rt[i*S],rt[j+1],a[j],0,30));
    while(m--)
    {
        int l=((ll)ans+getint())%n+1,r=((ll)ans+getint())%n+1;
        if(l>r)swap(l,r);--l;
        int lS=l/S+1,p=min(r,lS*S-1);ans=f[lS][r];
        for(int i=l;i<=p;i++)ans=max(ans,query(rt[l],rt[r+1],a[i],0,30));
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}