hdu2191 悼念512汶川大地震遇难同胞——珍惜现在，感恩生活【单调队列优化多重背包】

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本文介绍了一种使用单调队列优化多重背包问题的方法，将原始的O(n^3)复杂度降低到O(n^2)。通过维护一个单调递减序列来高效地计算动态规划的状态。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

解题思路：

题目就是求裸的多重背包。
朴素的多重背包是 $O(n^3)$ ，但用单调队列可以优化到 $O(n^2)$ .
dp方程为：
$f[j+k*w[i]]=max(f[j+l*w[i]]+(k-l)*v[i])$ ， $(0\le j <w[i],l>=k-cnt[i])$
即
$f[j+k*w[i]]=max(f[j+l*w[i]]-l*v[i]+k*w[i])$ ， $(0\le j <w[i],l>=k-cnt[i])$
用单调队列维护 $f[j+l*w[i]]-l*v[i]$ 单减序列即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')f=-1,c=getchar();
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}

//f[j+k*p]=max(f[j+q[head]*p]-q[head]*h+k*h)(q[head]>=k-c)

const int N=105;
int T,n,m,p,h,c,ans;
int f[N],tmp[N],q[N];

int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    T=getint();
    while(T--)
    {
        memset(f,0,sizeof(f));
        m=getint(),n=getint();
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            p=getint(),h=getint(),c=getint();
            memcpy(tmp,f,sizeof(f));
            memset(q,0,sizeof(q));
            for(int j=0;j<p;j++)
            {
                int head=1,tail=0;
                for(int k=0;j+k*p<=m;k++)
                {
                    while(head<tail&&q[head]<k-c)head++;
                    while(head<=tail&&tmp[j+k*p]-k*h>tmp[j+q[tail]*p]-q[tail]*h)tail--;
                    q[++tail]=k;
                    f[j+k*p]=max(f[j+k*p],tmp[j+q[head]*p]+(k-q[head])*h);
                }
            }
        }
        ans=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)ans=max(ans,f[i]);
        cout<<ans<<'\n';
    }
}