洛谷 P1776 & HDU 2191 题解（单调队列优化多重背包）

题意简述

(按洛谷，HDU的输入顺序略有不同，还多组数据，较为毒瘤)

多重背包问题。给n,m,分别表示物品数量，背包总容积，每个物品依次给出3个属性w,v,c，表示物品的价值，重量，能选多少个。请在背包不爆炸的情况下选价值最大。

数据

输入：
4 20
3 9 3
5 9 1
9 4 2
8 1 3
输出：
47

思路

在朴素的多重背包中，我们设$f[i][j]$为考虑前$i$个物品，然后背包容量为$j$时的最优解。显然有f[i][j]=max{ f[i−1][j−k∗v[i]]+k∗w[i]}f[i][j]=max\{ f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]\}f[i][j]=max{ f[i−1][j−k∗v[i]]+k∗w[i]}，其中0&lt;=k&lt;=min{ c[i],m/v[i]}0&lt;=k&lt;=min\{c[i],m/v[i]\}0<=k<=min{ c[i],m/v[i]}。(注释：$c[i]$为当前物品能选多少个，$m/v[i]$是由于容量限制导致当前物品最多就能选$m/v[i]$个，其中$/$是$C++$中的用法，表示下取整的除)。

我们会发现，这样高的时间复杂度过不去这个题目。那么，我们仔细观察一下$f$的变化。

假如此时$n=100000,m>9\times v[i]$设我们现在正在枚举$i$，然后这个物品$i$能选$2$个，将$w[i],v[i]$简记为$w,v$，将$f[i-1][j]$简记为$g(j)$。然后开始第二层枚举$j$。
当
j=6v,f[i][j]=max{ g(6v),g(5v)+w,g(4v)+2w}j=5v,f[i][j]=max{