【AtCoder1983】BBQ Hard （组合数+巧妙模型转化）

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/can919/article/details/82817825

本文介绍了一种使用动态规划(DP)算法在O(n^2)的时间复杂度内解决从多个起点到任意终点路径计数问题的方法。通过定义状态dp[i][j]表示到达点(i,j)的方案数，利用递推公式dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]进行计算，并给出了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

半题解

输入A[i],B[i]，求 $∑i=1N∑j=i+1NCAi+Aj+Bi+BjAi+Bi\sum_{i=1}^N\sum_{j=i+1}^N C_{A_i+A_j+B_i+B_j}^{A_i+B_i}$

题解

$C_{A_i+A_j+B_i+B_j}^{A_i+B_i}$
上式即求从 $A_i,-B_i)$ 到 $A_j,B_j)$ 的路径条数。
整个求和式即求从若干点出发，到任意终点的路径条数。
可用DP在 $O(n^2)$ 内解决

$d p [i] [j]$ 表示从到 $(i, j)$ 的方案数
$d p [i] [j] = d p [i - 1] [j] + d p [i] [j - 1]$
初始时 $dp[-A_i][-B_i]=1$
结果为 $∑dp[Aj][Bj]\sum dp[A_j][B_j]$

最后结果减去从 $A_i,-B_i)$ 到 $A_i,B_i)$ 的方案数，再除以2。(i到j和j到i都被计算了一次)

代码

#include<cstdio>
const int MAXN=200005,MAXA=8010,ZERO=2003,MOD=1000000007;

int PowMod(int a,int b)
{
    int ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ret=1LL*ret*a%MOD;
        a=1LL*a*a%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

int fac[MAXA],ifac[MAXA];

void Init()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<MAXA;i++)
        fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%MOD;
    ifac[MAXA-1]=PowMod(fac[MAXA-1],MOD-2);
    for(int i=MAXA-2;i>=0;i--)
        ifac[i]=1LL*ifac[i+1]*(i+1)%MOD;
}

int N;
int A[MAXN],B[MAXN];
int dp[MAXA/2][MAXA/2];

int main()
{
    Init();
    scanf("%d",&N);
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        scanf("%d%d",&A[i],&B[i]);
        dp[ZERO-A[i]][ZERO-B[i]]++;
    }
    for(int i=1;i<MAXA/2;i++)
        for(int j=1;j<MAXA/2;j++)
            dp[i][j]=((dp[i][j]+dp[i][j-1])%MOD+dp[i-1][j])%MOD;
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        ans=(ans+dp[ZERO+A[i]][ZERO+B[i]])%MOD;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        ans=(ans-1LL*fac[2*(A[i]+B[i])]*ifac[2*A[i]]%MOD*ifac[2*B[i]]%MOD)%MOD;
    ans=(ans+MOD)%MOD;
    ans=1LL*ans*PowMod(2,MOD-2)%MOD;
    printf("%d\n",ans);

    return 0;
}