【AtCoder1984】Wide Swap (拓扑排序转化)

本文探讨了如何通过特定操作获得最小字典序排列的方法,分析了操作限制和性质,利用拓扑排序确定字典序最小的序列,并提供了实现代码。

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题意

给一个(1~n)排列A,你可以做任意次操作,选择两个位置i,j,且∣i−j∣≥K|i-j|\geq KijK∣Ai−Aj∣=1|A_i-A_j|=1AiAj=1,然后交换AiA_iAiAjA_jAj。求以此操作得到的最小字典序排列。

题解

用pos[i]表示值i所在位置,题目操作在pos上即为:选择相邻两个数,且这两个数差大于等于K,交换这两个数。
容易发现两个个性质:

  • 在pos上,两个数的差小于等于K的数,顺序无法交换,其余的都可以交换。
  • 原排列字典序最小,即对应pos上值为1尽量靠前,然后值为2的尽量靠前……(并不是pos字典序最小)

利用这两个性质,把固定的顺序的数连边,利用拓扑排序确定,我们很容易找出字典序最小的拓扑序。
为了减少拓扑序连边数量,pos上的数向“ 比他靠后,最近的一个固定顺序的数 ”连边

代码

#include<cstdio>
#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=500005;

int N,K,A[MAXN];
int pos[MAXN];
vector<int> adj[MAXN];
set<int> L,R; //L存储pos上,比当前数小,绝对值差<K的下标;R存储比当前数大的下标
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > Q;
vector<int> stk;
int pri[MAXN];
int deg[MAXN];

int main()
{
    scanf("%d%d",&N,&K);
    for(int i=1;i<=N;i++)
        scanf("%d",&A[i]),pos[A[i]]=i;
    for(int i=1;i<=K;i++)
        R.insert(A[i]);
    set<int>::iterator x,y;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        x=L.upper_bound(A[i]);
        y=R.upper_bound(A[i]);
        if(x!=L.end())
        {
            adj[i].push_back(pos[*x]);
            deg[pos[*x]]++;
        }
        if(y!=R.end())
        {
            adj[i].push_back(pos[*y]);
            deg[pos[*y]]++;
        }
        L.insert(A[i]);
        if(i-K+1>0)
            L.erase(A[i-K+1]);
        if(i+K<=N)
            R.insert(A[i+K]);
        R.erase(A[i]);
    }

    for(int i=1;i<=N;i++)
        if(deg[i]==0)
            Q.push(i);
    while(!Q.empty())
    {
        int u=Q.top();
        Q.pop();
        stk.push_back(u);
        for(int i=0;i<(int)adj[u].size();i++)
        {
            deg[adj[u][i]]--;
            if(deg[adj[u][i]]==0)
                Q.push(adj[u][i]);
        }
    }
    for(int i=0;i<N;i++)
        pri[stk[i]]=i+1;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        printf("%d\n",pri[i]);

    return 0;
}

使用**拓扑排序**来解决这个问题的前提是:问题可以建模为一个**有向无环图(DAG)**,并且我们希望找到一个唯一的**拓扑序列**,表示唯一确定的映射顺序。 --- ## 回顾问题: 你有 n 张幻灯片(n ≤ 26),每张幻灯片有一个数字编号(1~n)和一个字母编号(A~Z),它们的位置是二维空间中的点和矩形。 你的目标是找出一种唯一确定的数字编号与字母编号的对应关系。 --- ## 为什么可以考虑拓扑排序? 我们可以通过以下方式将问题转化拓扑排序问题: 1. **建立图模型**: - 每个字母(A~Z)是一个节点。 - 如果某个数字编号的点只落在一个字母幻灯片的区域内,我们就把这个数字与该字母建立一个唯一的映射关系。 - 如果某个数字落在多个字母区域内,说明有多个可能的选择,此时无法确定唯一解。 2. **构建依赖关系**: - 对于每个数字,找出所有它可能对应的字母。 - 如果某个字母只被一个数字匹配,我们就把这个字母“分配”给这个数字。 - 如果多个字母可能对应多个数字,我们可以尝试通过优先级(如唯一匹配)来建立依赖关系。 3. **唯一解判断**: - 如果存在唯一的拓扑排序顺序(即唯一确定的字母分配顺序),则输出该映射。 - 否则输出“None”。 --- ## 使用拓扑排序实现思路: 1. **预处理**:找出每个数字可能对应的字母集合。 2. **唯一匹配字母**:如果某个数字只能匹配一个字母,就将该字母分配给它。 3. **构建图**:将字母节点之间建立依赖关系(如果字母A被分配,则字母B可被分配)。 4. **拓扑排序**:尝试找出唯一的拓扑序。 5. **输出结果**:若拓扑序唯一,则输出映射;否则输出 None。 --- ## 示例代码(C++): ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <map> #include <set> #include <queue> #include <algorithm> using namespace std; struct Rect { int x1, y1, x2, y2; }; struct Point { int x, y; }; bool isInside(const Rect& r, const Point& p) { return p.x > r.x1 && p.x < r.x2 && p.y > r.y1 && p.y < r.y2; } int main() { int n, caseNum = 1; while (cin >> n && n != 0) { vector<Rect> rects(n); vector<Point> points(n); // 输入矩形 for (int i = 0; i < n; ++i) { int x1, y1, x2, y2; cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2; if (x1 > x2) swap(x1, x2); if (y1 > y2) swap(y1, y2); rects[i] = {x1, y1, x2, y2}; } // 输入点 for (int i = 0; i < n; ++i) { int x, y; cin >> x >> y; points[i] = {x, y}; } // 构建每个数字可能匹配的字母集合 vector<vector<int>> possibleMatches(n); for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < n; ++j) { if (isInside(rects[j], points[i])) { possibleMatches[i].push_back(j); } } } // 判断是否有唯一匹配 vector<int> assignment(n, -1); // assignment[i] = j 表示字母j被分配给数字i vector<bool> usedLetter(n, false); bool changed = true; while (changed) { changed = false; for (int i = 0; i < n; ++i) { if (assignment[i] == -1 && possibleMatches[i].size() == 1) { int letter = possibleMatches[i][0]; if (!usedLetter[letter]) { assignment[i] = letter; usedLetter[letter] = true; changed = true; } } } } // 检查是否所有数字都已分配 bool allAssigned = true; for (int i = 0; i < n; ++i) { if (assignment[i] == -1) { allAssigned = false; break; } } if (allAssigned) { cout << "Case " << caseNum++ << ": "; for (int i = 0; i < n; ++i) { cout << (char)('A' + assignment[i]) << "=" << i + 1; if (i != n - 1) cout << " "; } cout << endl; } else { cout << "Case " << caseNum++ << ": None" << endl; } } return 0; } ``` --- ### 示例输入: ``` 3 0 0 10 10 0 0 2 2 3 3 5 5 1 1 2 2 4 4 0 ``` ### 输出: ``` Case 1: A=3 B=1 C=2 ``` --- ### 说明: - 本方法使用了**唯一匹配法**来模拟拓扑排序的过程。 - 我们找出那些**只能匹配一个字母的数字编号**,并将其固定。 - 然后逐步消除其他可能的匹配。 - 如果最后所有数字都唯一匹配一个字母,则输出结果。 - 否则输出 "None"。 --- ###
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