最小生成树——单点度数限制

本文介绍了一种算法,用于解决在限制根节点度数的前提下寻找最小生成树的问题。该算法首先通过Kruskal算法生成森林,并确保根节点与其他联通组件间的连接边权值最小。随后逐步增加根节点的度数至指定值k,过程中采用破圈法优化生成树。

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问题

求最小生成树,满足结点1的度数不超过k的情况下,使边的权值和最小。

思路

先去掉结点1,用Kruskal生成一个森林,设其有m个联通块。
如果k<mk<m,则显然无解。
从结点1往每个联通块连最小的那条边,得到结点1度数为m时的最小生成树

现在要使其扩展到k度

枚举每一条与结点1相连,没有使用的边,试图把它加进生成树,删掉形成的环上最大的边(破圈算法),计算新的生成树权值,选择最优的一条边加入。这样操作使得新的生成树结点1度数+1。

找环上最大边可以先用DP预处理,防止每次枚举边都要O(n)O(n)找环

重复执行以上操作直到结点1度数为k,或者操作无法使得生成树更优。

题目

POJ1639

#include<iostream>
#include<string>
#include<map>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=22,MAXE=MAXN*MAXN;

struct Edge
{
    int u,v,len;
    Edge(){}
    Edge(int _u,int _v,int _len)
    {u=_u;v=_v;len=_len;}
    bool operator < (const Edge &t)const
    {return len<t.len;}
};
struct AdjEdge
{
    int v,len,id;
    AdjEdge(){}
    AdjEdge(int _v,int _len,int _id)
    {v=_v;len=_len;id=_id;}
};

int dsu[MAXN];
int Root(int x)
{
    if(dsu[x]==0)
        return x;
    return (dsu[x]=Root(dsu[x]));
}

int n,m,K;
Edge edge[MAXE];

vector<AdjEdge> adj[MAXN];
void AddEdge(int i)
{
    Edge e=edge[i];
    adj[e.u].push_back(AdjEdge(e.v,e.len,i));
    adj[e.v].push_back(AdjEdge(e.u,e.len,i));
}

int Kruskal()
{
    sort(edge+1,edge+m+1);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(edge[i].u==1||edge[i].v==1)
            continue;
        int r1=Root(edge[i].u),r2=Root(edge[i].v);
        if(r1==r2)
            continue;
        AddEdge(i);
        dsu[r1]=r2;
        ans+=edge[i].len;
    }
    return ans;
}

bool del[MAXE];
int dp[MAXN],dpid[MAXN];
void DP(int u,int f=0)
{
    for(int i=0;i<(int)adj[u].size();i++)
    {
        int v=adj[u][i].v,eid=adj[u][i].id,len=adj[u][i].len;
        if(v==f||del[eid])
            continue;
        if(u!=1)
        {
            if(dp[u]>len)
                dp[v]=dp[u],dpid[v]=dpid[u];
            else
                dp[v]=len,dpid[v]=eid;
        }
        else
            dp[v]=0;
        DP(v,u);
    }
}

map<string,int> id;

int blkc;
int minE[MAXN];

int main()
{
    id["Park"]=++n;
    cin>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        string u,v;
        int len;
        cin>>u>>v>>len;
        if(id.count(u)==0)
            id[u]=++n;
        if(id.count(v)==0)
            id[v]=++n;
        edge[i]=Edge(id[u],id[v],len);
    }
    cin>>K;

    int ans=Kruskal();

    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(edge[i].u!=1&&edge[i].v!=1)
            continue;
        int v=(edge[i].u==1?edge[i].v:edge[i].u);
        int r=Root(v);
        if(minE[r]==0)
        {
            blkc++;
            minE[r]=i;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(minE[i]!=0)
        {
            ans+=edge[minE[i]].len;
            AddEdge(minE[i]);
        }

    for(int i=blkc+1;i<=K;i++)
    {
        DP(1);
        int best=0x3F3F3F3F,e,e1;
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(del[j]||(edge[j].u!=1&&edge[j].v!=1))
                continue;
            int v=(edge[j].u==1?edge[j].v:edge[j].u);
            if(best>edge[j].len-dp[v])
                best=edge[j].len-dp[v],e=dpid[v],e1=j;
        }
        if(best>=0)
            break;
        ans+=best;
        AddEdge(e1);
        del[e]=true;
    }

    cout<<"Total miles driven: "<<ans<<endl;

    return 0;
}
<think>好的,我现在得仔细看看这个问题。题目是说,小红把一棵树的节都染成红色,小紫要选k个节染成紫色,使得剩下的红色连通块的最大大小尽可能小。我们的目标是找出这个最小。 首先,我得理解什么是红色连通块。当某些节被染成紫色后,剩下的红色节如果相连的话,就属于同一个连通块。比如,如果原树的结构是中心一个节连接多个子节,当中心节被染成紫色,那么每个子节各自形成一个连通块,大小都是1。 那问题的核心就是如何选择k个节,使得剩下的红色连通块的最大最小。这感觉像是一个典型的二分答案问题。可能的思路是,确定一个最大连通块的大小上限,然后判断是否可以通过选k个节来满足条件。或者,可能需要贪心策略,比如优先分割大的连通块。 先想想如何将问题转化。假设我们选择k个紫色节,这些紫色节会把原来的树分割成若干个红色连通块。我们需要这些连通块的大小的最大尽可能小。那如何选择这k个节才能达到这个目的? 举个例子,假设原树是一个链状结构。如果我们每隔一定距离选一个紫色节,那么分割后的连通块的大小会被限制。但具体怎么选最优可能需要分析。 可能的思路是:当选择一个节作为紫色,会将原来的连通块分割成若干部分。比如,假设原来的某个连通块的大小为s,如果我们在这个连通块中选择一个节,将其变为紫色,那么该节原本所在的区域会被分割成多个部分。每次分割应该尽可能让最大的部分尽可能小。这可能需要类似树的重心的概念,或者寻找分割使得分割后的最大块最小。 或者,考虑每个节如果被染成紫色,那么它能分割的连通块数目等于它的度数。比如,如果一个节有d个子节,那么将其染紫会分割出d个新的连通块(假设父节已经被处理)。这可能涉及到如何选择节来最大化分割的次数,从而减少各个连通块的大小。 这可能涉及到类似贪心的策略:每次选择当前最大连通块中能分割出最多子块的节。或者,每次选择能够将最大块分割成尽可能小的块的节。 或者,可以考虑将问题转化为,我们需要将整个树分割成m个连通块(每个连通块必须是红色),其中m >= k+1?或者,可能不是,因为每个紫色节可以分割多个连通块。比如,一个紫色节周围的红色区域会被分割成多个连通块。所以,假设原来的树是一整个连通块,当染一个紫色节时,该节分割出若干子连通块,数目等于它的度数。例如,中心节被染紫,那么分割出度数个连通块。然后,每增加一个紫色节,可能进一步分割这些连通块。 这似乎类似于动态分割问题。我们需要选择k个节,使得分割后的各个红色连通块的最大最小。 这个时候,可能需要用优先队列来维护当前各个连通块的大小,并每次选择分割最大的那个连通块,并且选择分割方式让最大的剩余部分尽可能小。这个过程重复k次,直到用完所有的k次机会。这样,最终剩下的最大块的大小就是我们要求的答案。 例如,初始时整个树是一个连通块,大小为n。如果k=0,那么结果就是n。当k=1的时候,我们需要选择一个节,使得分割后的各个连通块的最大最小。比如,选择中心节,分割成多个子树,每个子树的大小为1,所以最大1,如示例所示。 这似乎符合贪心的策略。每次处理最大的连通块,将其分割成尽可能小的部分。所以,可能的算法步骤如下: 1. 初始时,整个树是一个连通块,大小为n。如果k=0,直接返回n。否则,进入步骤2。 2. 每次选择当前最大的连通块,然后在该连通块中选择一个最优的分割(即该所在的连通块的大小最大),分割该块,分割次数增加相应的次数(比如分割后得到多个新的连通块)。然后,将新的连通块大小加入优先队列。重复这个过程k次,每次分割尽可能减少最大块的大小。 但是,如何正确计算分割次数?比如,每次分割一个连通块可能需要消耗一个分割次数,或者,每次分割一个连通块可能需要消耗多个分割次数? 或者,分割次数k指的是选择k个紫色节。每个紫色节可能分割出多个连通块。每个紫色节只能被选择一次,并且每次分割一个连通块时需要选择一个节,分割后的各个子连通块的大小之和等于原大小减去该节的子节数目加一? 这个问题可能需要更仔细的分析。 举个例子,假设有一个连通块S,大小为s。当在该连通块中选择一个节u,将其染成紫色,那么原来的连通块S会被分割为若干个子连通块,这些子连通块的数目等于u的度数(在连通块S中的度数吗?或者原树中的度数?)。 或者,更准确地说,当将节u染成紫色,那么原连通块会被分割成若干部分,每个部分对应u的各个子树以及父节所在的部分。但这个时候,可能需要知道该节在连通块中的位置。比如,如果将u所在的连通块分割成多个部分,那么每个部分的大小等于其子树的大小(在连通块中的子树)。 这可能比较复杂,因为要维护每个连通块的结构。这种情况下,可能需要更高效的方法。 或者,我们可以换一种思路:当我们将某些节染成紫色后,剩下的红色连通块是树中的节被这些紫色节切断后的各个部分。也就是说,每个红色连通块必须是一个子树,这些连通块之间不能有紫色节。因此,紫色节的作用类似于将原树分割成多个不连通的红色区域。 那如何选择k个紫色节,使得分割后的最大红色区域的大小尽可能小? 这时,可能要考虑每个紫色节可以分割出多个红色区域。例如,一个紫色节可以分割出多个红色区域,数目等于它在原树中的度数。例如,一个叶子节被选为紫色,只能分割出一个红色区域(父节所在的部分),而度数更高的节分割出更多的区域。 因此,这可能类似于将原树分割为m个区域,其中m=总分割次数+1?或者,每个紫色节可以将一个区域分割为多个区域,所以总区域数为1 + sum( (分割次数_i -1) ), 其中分割次数_i是第i次分割带来的区域增加数目。 这可能需要更深入的分析。假设初始时整个树是一个区域,数目为1。每次选择一个紫色节,该节所在的区域被分割成d个子区域,其中d是该节度数。例如,一个节在区域S中被选中,该节在区域S中的度数是d,那么分割后的区域数目会增加d-1。因为原区域数目减去1,加上d,即总区域数目增加d-1。 所以,每次选择一个节,可以增加的区域数目是它的度数-1。而总共有k次选择,我们需要让总区域数目尽可能多,从而使得每个区域的大小尽可能小。或者说,总区域数目等于初始数目1 + sum_{i=1}^k (d_i -1),其中d_i是第i次选择的节度数。 因此,这个问题可以转化为:选择k个节,使得它们的度数之和减去k(因为每个节贡献d_i-1)尽可能大。这样总区域数目就会尽可能多,从而每个区域的大小会尽可能小。 但问题在于,每个被选择的节必须属于不同的区域?或者说,每个被选择的节必须属于当前未被分割的区域中的一部分? 这可能比较复杂。例如,在第一次选择节u,将原来的区域分割成d_i个区域。之后,每个新的区域可能被进一步分割。这时候,每个后续的选择只能在一个区域中选择节,并且该节度数是在该区域中的度数,而不是原树中的度数。 这种情况下,问题变得难以处理,因为区域的结构会不断变化,每次分割的度数可能难以维护。 那么,如何高效地计算每次分割后的各个区域的大小以及节度数? 这可能需要一种贪心的策略:每次选择当前最大的区域,然后在该区域中选择一个节,分割该区域为多个子区域,每个子区域的大小是该节的各个子树的大小,以及父节所在区域的大小减去该子树的大小? 比如,对于一个区域S的大小为s,选择其中某个节u,该节在区域S中的各个子树的大小为s1, s2, ..., sd,那么分割后的各个子区域的大小是这些s1, s2,..., sd,以及s -1 - sum(si)(父节所在部分的大小)。这可能比较复杂,因为需要知道每个节在区域中的子树结构。 这似乎难以高效处理,因为每次分割后的区域的结构可能需要动态维护,对于n=1e5的数据规模来说,这样的算法可能无法在时间限制内完成。 那么,必须寻找另一种更高效的思路。 比如,假设我们忽略区域的结构,而是认为每个被选中的节u,在原树中的度数越大,那么分割的区域数目越多。这可能是一个启发式的贪心策略,即优先选择度数高的节。但这种方法是否正确呢? 比如,示例中的情况,节1度数是4,所以选择它之后分割成4个区域(每个子树的大小是1),而总区域数目是4。此时,最大区域大小是1。这可能符合选择度数高的节的策略。 但这种方法可能不总是正确。例如,假设有一个节u的度数是3,分割后三个区域的大小分别为100,100,100。而另一个节v度数是2,分割后的两个区域的大小为1和200。显然,选择u更好,因为分割后的最大区域是100,而选择v后最大区域是200。所以,此时度数高的节可能带来更好的结果。这说明,仅根据度数来选择可能不够,因为分割后的各个区域的大小也是关键因素。 那,正确的贪心策略应该每次在最大的连通块中选择一个分割,使得分割后的最大子区域尽可能小。这可能类似于树的重心的概念,即分割后最大的子树大小尽可能小。 因此,可能的正确思路是: 1. 初始时,整个树是一个连通块,大小为n。 2. 维护一个优先队列,保存各个连通块的大小,每次处理最大的连通块。 3. 对于当前最大的连通块,找到该连通块的重心,将其分割。分割后的各个子连通块的大小将被计算,并加入优先队列。每次分割操作消耗一个k的次数。 4. 重复步骤2-3,直到用完k次分割机会。 这样,每次分割最大的连通块,并尽可能使其分割后的最大子块最小,这应该能保证最终的最大块的大小尽可能小。 但问题在于,如何快速计算每个连通块的分割后的子块大小?这可能需要对于每个连通块维护其子树结构,或者能够快速找到其重心以及分割后的各个子块的大小。对于大规模的数据来说,这可能需要O(n)的时间,无法处理。 因此,这可能需要一种更聪明的预处理方法。 另一种思路是,将问题转化为,选择k个节,使得剩下的红色连通块的最大最小。此时,每个被选中的紫色节可以将它所在的连通块分割成多个子连通块。我们需要选择k个节,使得每次分割尽可能减少最大连通块的大小。 这类似于在树中选择k个,使得每个尽可能将大的连通块分割成尽可能小的部分。 这时候,可以考虑对每个节,计算当该节被选中时,能分割出的各个子连通块的大小的最大。然后,优先选择那些分割后最大最小的节。 但如何高效计算这个? 或者,我们可以考虑,每个节如果被选中,则其子树的各个部分会成为新的连通块。例如,假设节u被选中,那么其父节所在的连通块将被分割为若干部分:u的各个子树的大小,以及父节所在的部分的大小(等于原连通块的大小减去u所在的子树的大小减去1)。 这可能比较复杂,因为父节所在的部分的大小依赖于原连通块的结构。 可能这时候,我们需要预先计算每个节的所有子树的大小,以及父节所在的部分的大小。这可以通过一次后序遍历来实现。 例如,对于原树中的每个节u,我们可以预先计算其各个子树的大小,以及父节所在部分的大小。当u被选中时,分割后的各个连通块的大小为各个子树的大小,以及父节所在部分的大小(这个可能需要动态计算)。 但如何维护这些信息呢? 比如,假设初始时整个树是一个连通块。当选择u作为紫色节时,分割后的各个连通块的大小是u的各个子树的大小,以及父节所在部分的大小。但父节所在的部分的大小等于原连通块的大小减去u所在的子树的大小减去1(u本身被染成紫色,所以不算入任何连通块)。 那么,每个分割后的连通块的大小等于该子树的大小,而父节所在部分的大小等于原连通块的大小 - sum(子树的大小) -1。 例如,原连通块的大小是s,u的各个子树的大小是s1, s2, ..., sd,那么父节所在部分的大小是 s -1 - sum(s_i)。这可能等于原连通块中除u及其子树之外的部分的大小。 因此,分割后的各个子连通块的大小是各个s_i以及这个父部分的大小。其中最大的那个就是该次分割后的最大子块。 因此,对于每个节u,如果我们将其作为分割,那么分割后的最大子块的大小等于max( s1, s2, ..., sd, s_parent ),其中 s_parent = s -1 - sum(s_i) = s_parent = s -1 - (sum(s_i) )。 而sum(s_i)是u的所有子树的大小之和。原连通块的大小s等于 sum(s_i) + s_parent +1(因为u本身被分割出去)。所以,sum(s_i) + s_parent +1 = s → sum(s_i) + s_parent = s-1 → s_parent = s-1 - sum(s_i)。 所以,当分割一个大小为s的连通块时,分割后的各个子块的大小是各个s_i和s_parent。其中最大的那个就是分割后的最大块。 那我们的问题转化为:每次选择分割一个连通块,并且在该连通块中选择一个节u,使得分割后的最大子块尽可能小。然后,将各子块加入队列,重复这个过程k次。 这似乎是一个正确的策略,但如何高效实现? 假设我们维护一个优先队列,保存当前各个连通块的大小。初始时队列中只有n。然后,对于每次操作,取出最大的块s,然后找到该块中的一个最佳分割u,使得分割后的最大子块尽可能小。然后,将分割后的各个子块加入队列。重复k次。 但问题在于,如何快速找到每个块s的最佳分割u?因为每个块s对应原树中的一个连通块的结构,这在分割过程中会不断变化。例如,当分割后,一个连通块可能对应原树中的某个子树,因此,其结构是确定的。在这种情况下,可以预处理每个可能的连通块的结构吗? 这似乎很难,因为分割后的连通块的结构可能千变万化。因此,这可能需要另一种思路。 比如,假设每个分割操作都是将连通块分割成若干子树,那么分割后的各个子连通块的大小等于该子树的大小。此时,每个分割操作选择的是原树中的某个节,并且该节必须位于当前的连通块中。这可能需要动态维护每个连通块的结构,但对于大规模的数据来说,这是不现实的。 所以,这里可能需要另一个思路:预处理每个节的所有可能的子树大小,然后,在分割时选择那些能产生最大分割收益的节。 比如,预处理每个节的各个子树的大小,以及该节所在的位置,这样当分割时,可以快速得到各个子块的大小。 假设对于整个树,我们预先计算每个节的各个子树的大小。例如,使用一次后序遍历,计算每个节的子树大小,存储在数组sub_size[u]中。这样,对于每个节u,其各个子节的子树大小已经知道。 然后,当分割一个连通块时,假设该连通块的大小为s,并且分割的节是u,那么分割后的各个子块的大小是各个子节的子树大小,以及 s -1 - sum(子节的子树大小)。 此时,最大子块的大小是max(各个子节的子树大小, s-1 - sum子节子树大小)。 那,为了使得分割后的最大子块尽可能小,我们需要选择节u,使得这个最大最小。这实际上就是寻找该连通块的“重心”——使得分割后的最大子块最小的节。 因此,问题转化为每次分割最大的连通块,并找到该连通块的重心,将分割后的各个子块加入队列。这个过程重复k次。 但是,如何确定每个连通块的重心?例如,当分割后的连通块可能对应原树中的某个子树,或者某个父节所在的部分。这时,需要针对不同的连通块结构计算其重心。 这可能难以处理。比如,父节所在的部分可能是一个较大的连通块,但该部分的结构可能并不对应原树中的某个子树,而是原树中的某一部分。因此,无法通过预处理得到该部分的结构。 这时候,可能必须放弃这种方法,寻找另一种思路。 另一种可能的思路是,将问题转化为选择k个节,使得这些节的子树的分割导致剩下的红色连通块的最大大小最小。例如,每个被选中的节u,其子树会被分割为各个子节的子树,而父节所在的部分会被分割为原连通块的大小减去该子树的大小。 这可能只能处理子树分割的情况,而无法处理父节所在部分的分割。 这时候,是否可以将问题转化为选择k个节作为分割,使得这些分割将原树分割成若干部分,每个部分的大小尽可能均匀? 此时,每次分割应选择能产生最大分割收益的节。例如,每次分割当前最大的连通块,将其分割为尽可能小的部分。 这似乎回到最初的贪心策略,但如何高效实现? 例如,假设初始时整个树是连通块。最大的块大小是n。k次分割机会。 第一次分割时,选择一个节u,使得分割后的最大子块最小。假设该节是树的重心,分割后的最大子块是⌈n/2⌉。然后将各子块加入队列。 第二次分割时,选择此时最大的子块,并重复上述步骤。直到用完k次分割机会。 但如何快速计算每次分割后的结果? 这可能需要预处理每个节的各个子树的大小。例如,对于整个树来说,找到其重心,分割后的各子树的大小,然后将这些子块加入队列。但是,如何维护这些子块的结构? 或者,这可能需要将整个树视为各个可能的候选分割的集合,然后通过优先队列选择每次分割带来的最大收益。 例如,可以预先为每个节u计算,如果将u作为分割,分割后的最大子块的大小。然后,将这些可能的候选分割按照分割后的最大子块的大小进行排序。每次选择分割后最大子块最小的节,并将其分割后的各个子块加入队列。同时,总分割次数不能超过k次。 但如何维护这些候选分割? 这可能比较复杂,因为当分割一个块后,新的子块的分割候选可能没有被预处理。 此时,可能需要动态维护每个连通块的候选分割,这似乎无法在O(n)的时间复杂度内完成。 综上,这个问题可能需要一种更巧妙的解法。 回到问题的示例,当k=1时,最佳选择是分割中心节,使得每个子块的大小为1。这表明,分割次数k可能应该优先选择那些分割后能产生最多子块的节,从而减少各个子块的大小。 例如,假设一个节度数为d,那么分割它之后,会得到d个子块。这可能比分割度数低的节更好,因为每个分割可以带来更多的子块,从而更快地减少各个块的大小。 因此,可能的贪心策略是:每次选择度最大的节进行分割。这可能可以最大化分割产生的子块数目,从而更快地减小各个块的大小。 例如,示例中的节1度数4,分割后生成4个子块,每个大小1。这显然是最优的。 另一个例子,假设树的结构是星型,中心节度数很高。那么分割中心节可以产生多个小的子块,而分割其他叶子节只能生成一个较大的子块和一个小子块。 所以,优先分割度数高的节可能是一个正确的贪心策略。 那,如何将度数与分割后的子块数目联系起来? 每次分割一个度数d的节,可以产生d个子块。例如,分割节u的度数d,分割后的子块数目是d。这可能吗? 例如,原连通块的大小是s,分割节u之后,各个子块的大小是其各个子树的大小,以及父节所在部分的大小。假设原连通块是整个树,那么分割根节u(度数d),将生成d个子块,每个子块的大小等于各子树的大小。此时,父节所在部分的大小为0(因为原连通块是整个树),所以分割后的子块数目是d。 或者,当原连通块是整个树时,分割节u(度数d),则分割后的子块数目等于d,因为父节所在部分此时不存在(整个树被分割成各个子树)。 在这种情况下,分割度数越高的节,产生的子块数目越多,从而可能更有效地减少每个子块的大小。 所以,可能的贪心策略是:每次选择当前连通块中度数最大的节进行分割。这样,每次分割可以生成最多的子块数目,从而更有效地分割大的连通块。 这似乎与示例中的情况相吻合。但如何证明这个策略的正确性? 或者,另一个可能的策略是,每次选择当前最大的连通块,然后在该连通块中选择度数最大的节进行分割,以尽可能多的生成子块,从而减少最大块的大小。 但如何将这两个条件结合起来? 例如,假设当前最大的连通块是S,大小为s。我们需要在S中选择一个节u,分割后最大的子块尽可能小。这可能与u的度数无关,而取决于该节的子树结构。例如,假设u有多个大的子树,那么分割后的子块可能仍然很大。反之,如果u的子树大小分布均匀,那么分割后的最大子块可能较小。 这可能类似于寻找树的重心的问题。树的重心是删除该节后,各个子树的大小不超过原树的一半。所以,每次选择当前连通块的重心作为分割,可以保证分割后的最大子块的大小不超过原连通块的一半。 这可能是一个正确的策略,因为每次分割后,最大的子块的大小最多是原大小的一半。这样可以保证,在k次分割后,最大连通块的大小大约是n/(2^k)。这可能能够快速降低最大块的大小。 因此,可能的正确解法是:每次分割当前最大的连通块,并选择该连通块的重心作为分割。这样,每次分割后的最大子块的大小至少减少一半。重复k次,直到用完分割次数。 但如何快速找到各个连通块的重心? 对于原树来说,预处理每个节的子树大小,然后对于每个连通块来说,其重心可能需要动态计算。但如何快速找到分割后的各个连通块的重心? 这可能无法在合理的时间复杂度内完成,因为每个连通块的结构可能不同,无法预处理。 因此,必须寻找另一种思路。 回到问题本身,我们需要选k个紫色节。每个紫色节u会将原树分割成多个红色连通块。每个红色连通块的大小等于原树中u的各个子树的大小,以及父节所在部分的大小。这似乎只能处理分割原树的情况,而无法处理分割后续生成的子连通块。 或者,或许可以将问题转化为:每个紫色节的贡献是将原树分割为若干块。这些块的大小等于该节的各个子树的大小。那么,总共有k个这样的分割,每个分割贡献d_i个块(d_i是该节度数)。这些分割的选择必须互不重叠吗? 或者,可能可以这样认为:每个紫色节的贡献是将原树分割成d_i个块。但每个块可能被后续的分割再次分割。例如,第一次分割u将原树分成多个块,第二次分割v可能属于其中一个块,将该块再次分割成若干块。这样,总块数是所有分割度数之和减去k(因为每次分割增加d_i-1块)。 但此时,总块数为1 + sum_{i=1}^k (d_i-1)。因为初始块数是1,每个分割i贡献d_i-1块(因为将原来的一个块分割成d_i块,所以增加了d_i-1块)。 所以,总块数等于1 + sum (d_i-1) = 1 + sum d_i -k. 我们的目标是让这些块的最大尽可能小。所以,在总块数尽可能大的情况下,每个块的大小可能更小。因此,我们需要最大化sum d_i。这可能是一个可行的思路。 因此,问题转化为选择k个节,使得它们的度数之和最大。这样,总块数最大,每个块的大小可能更小。这似乎是一个可行的贪心策略:选择度数最大的k个节作为分割。 然后,剩下的红色连通块的大小等于该分割的各个子树的大小。因此,所有分割后的块的大小等于原树中各分割的各个子树的大小,以及未被分割的块的大小。 例如,假设我们选择k个度数最大的节。每个分割会将所在的块分割成其各个子树的大小。但要注意,这些分割的子树可能相互包含吗?例如,如果分割u是分割v的祖先,那么分割u之后,分割v可能属于其中一个子树,此时分割v所在子树的大小可能被进一步分割。 所以,如何正确计算分割后的各个块的大小? 这可能比较复杂。例如,分割u的各个子树的大小可能已经被其他分割分割过了。因此,分割的顺序可能会影响最终各个块的大小。 这说明,将问题转化为选择度数最大的k个节的策略可能并不正确,因为分割的顺序会影响最终的结果。 例如,假设有一个树结构:根节A有三个子节B、C、D。B的度数1,C的度数1,D的度数1。根节A的度数为3。如果k=1,那么选择A分割,得到三个块,每个大小1。最大块大小为1。但如果k=2,必须选择两个节。假设选择A和B。分割A之后,得到三个块。然后,分割B所在的块(大小为1),这无法分割,所以此时总块数是3 + (1-1) =3。这显然不优,因为此时所有块的大小都是1。而如果选择A和另一个节,如D,结果也是一样的。 这说明,当分割度数最大的节时,可能能获得更优的结果。但是,当分割的顺序不同时,可能无法获得最优解。 综上,这个问题可能需要一种不同的方法。 可能正确的解法是: 1. 预处理每个节度数。 2. 按照度数从大到小的顺序选择k个节作为分割。这些节度数之和尽可能大。 3. 计算这些分割分割后的各个块的大小。这些块的大小等于该节的各个子树的大小,以及未被分割的块的大小。 然后,最大的块的大小即为答案。 但问题在于,如何计算分割后的各个块的大小? 或者,可以认为,每个分割的各个子树的大小是原树中的子树大小,不管其他分割是否在它们的子树中。这可能不正确,因为如果分割u的一个子节v也被选为分割,那么分割v所在的子树会被进一步分割。 这似乎难以处理。因此,或许正确的做法是将所有选中的分割的子树的大小计算为它们未被其他分割分割的情况。例如,每个分割的子树的大小是原树中的子树大小,并且这些子树之间不能有其他的分割。否则,分割的顺序会影响结果。 这可能非常复杂。 另一种思路是,将分割后的各个块的大小等于原树中,以分割u为根的各子树的大小,前提是这些子树中没有其他分割。否则,该子树的大小会被进一步分割。 这似乎只能递归地处理,但这在算法中难以高效实现。 综上,这个问题可能需要一种不同的思路,可能涉及到将问题转化为选择哪些节,使得它们的子树的大小之和最大,或者类似的方法。 或者,这可能是一个二分答案问题。例如,我们猜测一个最大连通块的大小为x,然后判断是否可以通过选择k个分割,使得所有连通块的大小都不超过x。 如何判断这个条件是否成立? 假设我们可以将原树分割成m个块,每个块的大小不超过x,并且 m >=所需的数量,那么可能可行。 例如,每个分割可以分割出若干块,块数目等于其度数。所以,总块数等于1 + sum(度数-1)。如果总块数 >= 所需的数量,则可能可行。 或者,这可能与x有关。例如,最小的x满足,可以找到k分割,使得每个分割的子树的大小不超过x,或者类似条件。 这可能很难直接应用。 或者,我们可以将问题视为,每次选择分割,其每个子树的大小必须不超过x。当所有子树的大小都<=x时,那么分割后的块的大小都不会超过x。同时,父节所在的部分的大小必须也<=x. 这可能是一个条件。因此,我们可以进行二分x,然后判断是否存在一种方式选择不超过k个分割,使得所有分割后的块的大小<=x. 例如,对于某个x,我们需要计算至少需要多少个分割才能满足所有块的大小<=x。如果这个数目<=k,则x是可行的。 这可能是一个可行的思路。 那,如何判断对于某个x,需要至少多少分割? 这可能需要递归地处理树的结构。对于每个子树,如果其大小超过x,则必须在该子树的根节或其父节处进行分割,否则无法满足条件。 或者,可以类似贪心的方法:自底向上遍历树,当某个子树的大小超过x时,必须在该节的父节处进行分割,从而将该子树分割出去,成为独立块。这可能类似于某些树形DP的问题。 例如,对于每个节u,我们计算其子树的大小。如果子树的大小超过x,则需要分割该节的父节。分割父节后,该子树的大小被分割为一个块,而父节所在的其他部分继续处理。这可能类似于: - 遍历树,计算每个节的子树大小。 - 每当某个子树的大小超过x,必须分割该子树的父节,并将该子树分割出去。分割次数增加1。 - 最终,总分割次数是否<=k? 例如,假设x=3。对于树结构来说,当某个子树的大小超过3时,必须分割父节,将子树分割出去。这样,每个分割的子树的大小可能不超过x,而父节所在的部分可能也需要分割。 这可能是一个可行的判断条件。 这可能与这个问题类似:给定一个树,求最少的分割次数(即选择分割的数目),使得每个分割后的块的大小不超过x。如果这个数目<=k,则x是可行的。 这可能是一个正确的思路。因此,我们可以通过二分x来找到最小的最大块大小。 具体步骤如下: 1. 对x进行二分,范围是[1, n]. 2. 对于每个x,计算最少需要分割次数cnt,使得所有块的大小都不超过x. 3. 如果cnt <=k,则x可能是一个可行解,尝试更小的x。否则,必须增大x. 最终,找到最小的x,使得 cnt <=k. 现在,如何计算cnt? 这可能是一个树形DP的问题。例如,对于每个节u,我们计算其所有子节的子树大小之和。如果某个子节的子树大小超过x,则必须将u分割。分割后,该子树的块被分割出去,并且u的父节所在的块的子树大小减去该子树的大小。分割次数增加1. 例如,递归处理每个子树。当处理到节u时,统计其子节的各个子树的大小。如果某个子树v的size大于x,则必须将u分割,从而将v的子树分割出去(成为一块),分割次数增加1。同时,u的父节的子树大小将减少v的size,如果父节的子树大小超过x,则可能需要继续分割。 这可能比较复杂,需要仔细设计递归过程。 例如,可以按照后序遍历的方式处理树。对于每个节u,统计其所有子节未被分割的子树的大小之和。如果总和+1(u自己)超过x,则必须分割u。分割次数增加1,并且返回0(因为分割后的u的父节所在的块将不再包含u的子树)。否则,返回总和+1,作为u的父节所在块的一部分。 这可能是一个正确的递归方式。 例如,具体步骤: - 初始化分割次数cnt=0. - 后序遍历树。对于每个节u: - sum = 0. - 遍历u的所有子节v: - 递归处理v,得到v的贡献s。如果s超过0,那么sum += s. - 如果sum +1 >x: - cnt +=1. - 返回0。 // 分割u,使得u的父节所在的块不包括u的子树。 - 否则: - 返回 sum +1. 这样,最后的根节的返回如果大于x,则需要再分割一次。或者,可能根节的父节是空,所以分割根节后,其各个子树被分割成块,每个块的大小<=x. 例如,假设根节的处理后返回的sum+1 <=x,则无需分割。否则,必须分割根节,分割次数增加1. 综上,处理整个树后,可能需要额外增加一次分割次数,如果根节的sum+1 >x. 或者,在递归处理根节时,如果返回的大于x,则必须分割根节,分割次数增加1. 例如,在递归处理根节后,假设返回为s。如果 s >x,则必须分割根节,cnt +=1. 因此,总的cnt是递归处理后的分割次数,加上可能的根节的分割次数。 这样,这个递归过程可以计算对于给定的x,所需的最小分割次数。 例如,对于示例中的输入: n=5,k=1. 树的结构是根节1连接四个子节,每个子节的子树大小是1. 假设x=1: 在处理根节1时,各个子节的返回1(每个子节的子树大小是1,sum=4。sum+1=5>1. 所以必须分割根节,分割次数变成1。返回0。然后,根节的父节是空,所以无需再分割。总分割次数是1<=k=1。可行。所以x=1是可能的解。 这说明该算法可以正确处理示例。 另一个例子:n=5,k=0。此时,必须分割次数为0。所以,只有当x>=5时,分割次数为0。因此,二分的结果是5. 这说明该算法可以正确处理这种情况。 综上,二分答案的思路是可行的。所以,正确的解法是二分x,并在每次判断时通过上述递归方法计算所需的最小分割次数。如果该次数<=k,则x是可行的。 因此,现在需要将这一思路转化为代码。 步骤: 1. 预处理树的结构,建立邻接表。 2. 对x进行二分。左边界是1,右边界是n. 3. 对于每个mid x,计算所需的最小分割次数cnt。如果cnt <=k,则尝试更小的x。否则,增大x. 4. 最终,得到最小的x. 现在,如何实现这个递归计算cnt的函数? 例如,可以采用后序遍历的方式,对于每个节u,统计其子节的未被分割的子树大小的总和。如果总和+1 >x,则必须分割u,并返回0。否则,返回总和+1. 同时,统计分割次数cnt. 此外,需要注意,当分割u时,其父节所在的块的大小将不再包含u的子树部分。这可能影响父节的判断。 例如,在递归处理父节时,其子节u的贡献是0(因为u已被分割)。 因此,递归函数的返回是父节所在的块中,包含u的未被分割的子树的大小之和加上u自身的大小是否超过x. 这似乎正确。 那么,代码的大致结构是: int cnt =0; function<int(int u, int parent)> dfs = [&](int u, int parent) { int sum =0; for (auto v : adj[u]) { if (v == parent) continue; int s = dfs(v, u); sum += s; } if (sum +1 >x) { cnt ++; return 0; } return sum +1; }; int root = ... ; // 根节,比如1. int s = dfs(root, -1); if (s >x) cnt ++; return cnt <=k; 这样,递归处理每个节,并在总和超过x时分割。 现在,需要考虑根节的处理。例如,当处理根节时,若sum+1 >x,则必须分割,此时cnt增加1。否则,返回sum+1,如果该超过x,则必须分割,此时cnt增加1. 比如,在示例中,根节处理后sum=4(四个子节,每个返回1),sum+1=5>1。所以,分割次数增加1,返回0。此时,根节被分割,所以父节所在的块(不存在)无需处理。此时,cnt=1 <=k=1. 如果根节返回的s是sum+1,而sum+1 >x,则必须分割。 例如,根节处理后的sum+1=5>1,所以分割,返回0. 此时,根节被分割,分割次数是1. 因此,代码中的处理是正确的。 因此,这部分的代码可以正确计算所需的分割次数。 现在,如何选择根节?因为树是无根的,但我们可以任意选一个根(比如1号节)。 因为树的结构是固定的,所以选哪个根不影响最终的判断。比如,对于树的结构来说,无论选择哪个根,只要分割的位置正确,分割次数将是相同的。 综上,整个算法的步骤是: - 二分x,范围为1到n. - 对于每个x,计算所需分割次数cnt. - 如果cnt <=k,则答案可以是x,并尝试更小的x. - 否则,必须增大x. - 最终,找到最小的x. 现在,分析时间复杂度。二分的次数是O(log n). 每次二分需要遍历整棵树,O(n). 因此,总时间复杂度是O(n log n). 对于n=1e5,这应该是可以接受的。 因此,这应该是一个正确的解决方案。 现在,编写对应的C++代码: 首先,构建邻接表。然后,实现二分算法。 代码的大致结构: #include <bits/stdc++.h> using namespace std; vector<vector<int>> adj; int n, k; int check(int x) { int cnt =0; function<int(int, int)> dfs = [&](int u, int parent) { int sum =0; for (int v : adj[u]) { if (v == parent) continue; sum += dfs(v, u); } if (sum +1 >x) { cnt++; return 0; } return sum +1; }; int s = dfs(1, -1); if (s >x) cnt++; return cnt <=k; } int main() { cin >>n >>k; adj.resize(n+1); for (int i=0; i<n-1; i++) { int u, v; cin >>u >>v; adj[u].push_back(v); adj[v].push_back(u); } int left=1, right =n; int ans =n; while (left <= right) { int mid = (left + right)/2; if (check(mid)) { ans = mid; right = mid-1; } else { left = mid+1; } } cout << (ans ==0 ? 0 : ans) << endl; } 但是,需要考虑当k= n的情况。例如,所有节都被染成紫色,此时没有红色连通块,输出0。因此,在代码中,当ans==0时输出0,否则输出ans。但根据问题描述,当没有红色连通块时输出0。所以,需要判断是否所有节都被选中,即k==n的情况。在这种情况下,ans应该是0。 但当前的二分逻辑中,当k==n时,无论如何分割次数最多是n次,此时在check函数中,当x=0,分割次数允许k=n。这可能存在问题。 或者,当k >=n时,输出0。 因此,在代码中,应该首先处理这种情况: if (k >=n) { cout <<0 <<endl; return 0; } 否则,执行二分。 因此,修改后的代码: int main() { cin >>n >>k; if (k >=n) { cout <<0 <<endl; return 0; } adj.resize(n+1); for (int i=0; i<n-1; i++) { int u, v; cin >>u >>v; adj[u].push_back(v); adj[v].push_back(u); } int left=1, right =n; int ans =n; while (left <= right) { int mid = (left + right)/2; if (check(mid)) { ans = mid; right = mid-1; } else { left = mid+1; } } cout << ans << endl; } 这样,当k>=n时,直接输出0。否则,执行二分。 测试示例: 示例输入: 5 1 1 2 1 3 1 4 1 5 此时,当x=1时,分割次数是1。因此,输出1. 另一个测试用例:当n=5, k=0。输出5. 当n=5, k=5。输出0. 综上,这应该可以正确处理问题。 现在,构造更多的测试用例: 测试用例1: 输入: 3 2 1 2 2 3 此时,k=2。可以染两个节。最优方案是染节2和1。剩下的红色连通块是3,大小1. 输出1. 或者,染节2和3,剩下1的连通块大小1. 输出1. 测试用例2: 输入: 4 2 1-2 2-3 3-4 此时,树是一条链。k=2. 最优选择是染节2和3. 分割后的红色块是1,4,大小各1。最大为1. 或者染节2和4。分割后的块是1,3,此时3所在的块大小2。所以最大为2. 这显然不是最优。 所以,正确的输出是1. 测试用例3: 输入: 6 3 结构是星型,中心节1连接5个子节。k=3. 最优选择是染中心节1,以及任意两个子节。此时,中心节分割后,每个子节的块大小1. 分割次数1次,但k=3,可以用其他两次分割其他节。但是,此时所有块的大小已经是1,所以最大块是1. 因此,输出1. 综上,该算法应该能正确处理这些测试用例。</think>为了解决这个问题,我们需要选择k个节将其染成紫色,使得剩余的红色连通块的最大大小尽可能小。通过二分查找和贪心策略的结合,我们可以高效地找到最优解。 ### 方法思路 1. **问题分析**:树的结构使得每个紫色节可以将原树分割成若干子连通块。目标是选择k个节,使得分割后的最大红色连通块的大小最小。 2. **二分查找**:通过二分查找确定可能的最大连通块大小x,检查是否可以在k次分割内使得所有连通块的大小不超过x。 3. **贪心策略**:使用后序遍历树来检查每个可能的x,计算所需的最小分割次数。如果在当前x下分割次数不超过k,则尝试更小的x,否则增大x。 ### 解决代码 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; vector<vector<int>> adj; int n, k; int check(int x) { int cnt = 0; function<int(int, int)> dfs = [&](int u, int parent) { int sum = 0; for (int v : adj[u]) { if (v == parent) continue; sum += dfs(v, u); } if (sum + 1 > x) { cnt++; return 0; } return sum + 1; }; int s = dfs(1, -1); if (s > x) cnt++; return cnt <= k; } int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cin >> n >> k; if (k >= n) { cout << 0 << endl; return 0; } adj.resize(n + 1); for (int i = 0; i < n - 1; ++i) { int u, v; cin >> u >> v; adj[u].push_back(v); adj[v].push_back(u); } int left = 1, right = n; int ans = n; while (left <= right) { int mid = (left + right) / 2; if (check(mid)) { ans = mid; right = mid - 1; } else { left = mid + 1; } } cout << ans << endl; return 0; } ``` ### 代码解释 1. **输入处理**:读取节数n和分割次数k,构建树的邻接表。 2. **特殊情况处理**:如果k大于等于n,直接输出0,因为所有节都被染成紫色,没有红色连通块。 3. **二分查找**:在区间[1, n]内进行二分查找,确定最小的最大连通块大小。 4. **检查函数check**:通过后序遍历树,计算当前x下所需的最小分割次数。若分割次数不超过k,则当前x可行,继续查找更小的x。 5. **输出结果**:最终找到的最小x即为答案。 这种方法确保了在O(n log n)的时间复杂度内高效解决问题,适用于大规模数据。
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