最短路——差分约束系统

最新推荐文章于 2024-07-07 02:55:38 发布

CaptainHarryChen

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分类专栏： OI知识总结图论

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本文介绍如何利用最短路模型解决一系列不等式的最大值问题。通过将不等式转换为图论中的节点距离和边权重，可以有效地找出Xn-X1的最大值，同时讨论了无解的情况。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题

已知一系列不等式

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ X i 1 - X j 1 \leq d 1 X i 2 - X j 3 \leq d 2 X i 3 - X j 3 \leq d 3 . . . X i k - X j k \leq d k

$\left \{ \begin{array}{c} X_{i_1}-X_{j_1} \leq d_1 \\ X_{i_2}-X_{j_3} \leq d_2 \\ X_{i_3}-X_{j_3} \leq d_3 \\ ... \\ X_{i_k}-X_{j_k} \leq d_k \end{array} \right.$
需要求解

Xn−X1Xn−X1 $X_n-X_1$ 的最大值，即求最小D，使得

Xn−X1≤DXn−X1≤D $X_n-X_1 \leq D$

分析

移项

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ X i 1 \leq d 1 + X j 1 X i 2 \leq d 2 + X j 3 X i 3 \leq d 3 + X j 3 . . . X i k \leq d k + X j k

$\left \{ \begin{array}{c} X_{i_1} \leq d_1+X_{j_1} \\ X_{i_2} \leq d_2+X_{j_3} \\ X_{i_3} \leq d_3+X_{j_3} \\ ... \\ X_{i_k} \leq d_k+X_{j_k} \end{array} \right.$

而最短路中
把X看作结点dis值， $d_k$ 看作边权，从 $i$ 到 $j$ 连接权值为 $d$ 的边，使得 $dis[i] \leq dis[j] +d$ ，正好满足X的关系

实现

当求 $X_n-X_1$ 最大值时，建立最短路模型，将所有不等式划为 $X_i \leq X_j + d_k$ 型式，从 $j$ 到 $i$ 连接权值为 $d_k$ 的边（可能为负）。
当求 $X_n-X_1$ 最小值时，建立最长路模型，将所有不等式划为 $X_i \geq X_j + d_k$ 型式，从 $j$ 到 $i$ 连接权值为 $d_k$ 的边。

无解情况：
1.有负权环（正权环），说明关系存在矛盾，无解
2.不存在路径，说明1与n没有关系，答案为无穷大

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