44、量子香农理论中的经典通信与纠缠操作

量子香农理论中的经典通信与纠缠操作

1. 纠缠操作回顾

在量子香农理论中，纠缠浓度是早期发现的协议之一。该协议借鉴了经典信息理论中的类型方法，并以相干的方式应用，使得类型类测量仅获取类型信息，而不获取其他多余信息。这与舒马赫压缩协议类似，都只学习执行协议所需的必要信息，并保留相干叠加态。在未来的量子香农理论协议中，我们还会看到以相干方式应用经典技术的思想。例如，量子信道上的量子通信协议就是量子信道上传输私有经典信息协议的相干版本。

纠缠转换方面，取 $n$ 份 $\psi_{AB}$ 可近似得到 $nH(A) {\psi}$ 个 ebits。然后，利用纠缠稀释和可忽略速率的经典通信，可将这些约 $nH(A) {\psi}$ 个近似 ebits 转换为约 $n [H(A) {\psi}/H(A) {\psi}]$ 个近似的 $\varphi_{AB}$ 副本。当 $n$ 变得很大时，该协议的精度任意小，纠缠转换速率趋近于 $H(A) {\psi}/H(A) {\psi}$。

纠缠操作的研究历史丰富。Elias（1972）构建了随机浓度协议；Bennett 等人（1996）提出了两种不同的纠缠浓度协议；Nielsen（1999）将纠缠浓度协议与优超理论联系起来；Lo 和 Popescu（1999、2001）研究了纠缠浓度和逆协议（纠缠稀释）的经典通信成本；Hayden 和 Winter（2003）以及 Harrow 和 Lo（2004）刻画了纠缠稀释的经典通信成本；Kaye 和 Mosca（2001）开发了用于纠缠浓度的实用网络；Blume - Kohout 等人（2014）进一步研究了纠缠浓度的流式协议；Hayashi 和 Matsumoto（2001）开发了通用纠缠浓度协议。Vedral 和 Plenio（1998）引入了纠缠相对熵作为量子信息理论中最早的 LOCC 单调量之一。

此外，研究人员还考虑了纠缠操作任务的误差指数、强逆定理和二阶特征。Lo 和 Popescu（2001）建立了纠缠浓度的强逆定理；Hayashi 等人（2003）推导了纠缠浓度的误差指数和精确强逆定理；Kumagai 和 Hayashi（2013）建立了纠缠浓度和稀释的精确二阶特征。

2. 量子香农理论的基本问题

在量子信息成为一门成熟学科之前，John R. Pierce 在 1973 年的文章中提出，希望物理学家能给出考虑量子效应的信道容量的一般表达式，而不是多个特殊情况。尽管自那以后我们对量子力学和信息理论有了更多了解，但仍未完全解决 Pierce 的担忧。

量子香农理论中最基本的问题是，发送者通过量子信道能向接收者传输多少经典信息。我们已经确定了许多量子信道的特殊情况的经典容量，但在一般情况下，这个问题仍然悬而未决。

与经典信道相比，量子信道具有更多种类的容量。例如，我们可能希望确定在发送者和接收者共享纠缠的辅助下，量子信道的经典容量。在无噪声量子比特信道的最简单情况下，共享纠缠可将经典容量提高到两位，这就是超密编码效应。有趣的是，量子信道的纠缠辅助容量是我们能完全理解信道传输能力的少数情况之一。

另外，我们还会考虑量子信道传输量子信息的容量。在 1973 年，“量子信息”的含义还不明确，但现在我们已经能够明确其含义，并刻画了量子信道的量子容量。量子信道上传输量子信息的任务与传输私有经典信息的任务有相似之处，这为在有噪声的量子信道上实现良好的量子通信速率提供了思路。对于某些类别的信道，我们已经有了很好的量子容量表达式（即信道的相干信息），但在一般情况下，确定量子容量的良好表达式仍然是一个开放问题。

3. 经典通信的朴素方法

在量子香农理论中，我们开始探索“动态”信息处理任务，其中发送者 Alice 希望通过量子信道向接收者 Bob 传输经典信息。经典通信的朴素方法是 Alice 和 Bob 简单模仿香农有噪信道编码定理的方法。具体步骤如下：
- Alice 和 Bob 事先根据分布 $p_X(x)$ 随机选择一个经典码本。
- 每个经典码字 $x^n(m)$ 对应 Alice 要传输的消息 $m$，Alice 使用一组密度算子 ${\rho_x}$ 作为量子信道的输入，量子码字形式为 $\rho_{x^n(m)} \equiv \rho_{x_1(m)} \otimes \rho_{x_2(m)} \otimes \cdots \otimes \rho_{x_n(m)}$。
- Bob 根据某个 POVM ${\Lambda_y}$ 对量子信道的输出进行单独测量。
- 这种方案诱导出条件概率分布：
- $p_{Y_1\cdots Y_n|X_1\cdots X_n}(y_1 \cdots y_n|x_1(m) \cdots x_n(m)) = \text{Tr} \left[ (\Lambda_{y_1} \otimes \cdots \otimes \Lambda_{y_n}) (\mathcal{N} \otimes \cdots \otimes \mathcal{N}) (\rho_{x_1(m)} \otimes \cdots \otimes \rho_{x_n(m)}) \right]$
- 进一步化简为 $p_{Y_1\cdots Y_n|X_1\cdots X_n}(y_1 \cdots y_n|x_1(m) \cdots x_n(m)) = \text{Tr} \left[ (\Lambda_{y_1} \otimes \cdots \otimes \Lambda_{y_n}) (\mathcal{N}(\rho_{x_1(m)}) \otimes \cdots \otimes \mathcal{N}(\rho_{x_n(m)})) \right] = \prod_{i = 1}^{n} \text{Tr} \left[ \Lambda_{y_i} \mathcal{N}(\rho_{x_i(m)}) \right]$
- 这等价于多个独立同分布的经典信道 $p_{Y|X}(y|x) \equiv \text{Tr} { \Lambda_y \mathcal{N}(\rho_x) }$。

如果采用这种方案，他们能实现的最优通信速率为：
$I_{acc}(\mathcal{N}) \equiv \max_{ {p_X(x), \rho_x, \Lambda } } I(X; Y)$
其中，最大化是关于所有输入分布、所有输入密度算子和 Bob 在信道输出端可执行的所有 POVM。这个信息度量被称为信道的可访问信息。

然而，如果信道确实是量子信道，上述策略并不一定是最优的，因为它没有利用任何量子效应，如纠缠或集体测量。一种简单的改进方法是考虑对张量积信道 $\mathcal{N} \otimes \mathcal{N}$ 进行编码，输入态在两个信道使用之间纠缠，输出测量对两个信道输出同时进行。这种策略能实现的经典通信速率为 $\frac{1}{2}I_{acc}(\mathcal{N} \otimes \mathcal{N})$，且该值总是至少与 $I_{acc}(\mathcal{N})$ 一样大。通过归纳扩展，对张量积信道 $\mathcal{N}^{\otimes k}$（$k$ 为正整数）进行编码，可实现的经典通信速率为 $\frac{1}{k}I_{acc}(\mathcal{N}^{\otimes k})$。这表明信道的最终经典容量是可访问信息的正则化：
$I_{reg}(\mathcal{N}) \equiv \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} I_{acc}(\mathcal{N}^{\otimes k})$

可访问信息的正则化对于一般量子信道来说是难以处理的，但如果可访问信息是可加的，优化任务可能会大大简化。可访问信息的一个简单上界是信道的霍勒沃信息 $\chi(\mathcal{N})$，定义为：
$\chi(\mathcal{N}) \equiv \max_{\rho} I(X; B)$
其中，最大化是关于形式为 $\rho_{XB} \equiv \sum_{x} p_X(x) |x\rangle \langle x| X \otimes \mathcal{N} {A’ \to B}(\psi_{x}^{A’})$ 的经典 - 量子态。霍勒沃信息是表征量子信道经典通信的更理想的量，因为它总是可访问信息的上界，并且不涉及对测量的优化。

下面用 mermaid 流程图展示朴素方法的步骤：

graph LR
    A[选择经典码本] --> B[Alice 选择量子输入]
    B --> C[通过量子信道传输]
    C --> D[Bob 进行单独测量]
    D --> E[计算可访问信息]

通过表格对比朴素方法和改进方法：
| 方法 | 输入态 | 测量方式 | 通信速率 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 朴素方法 | 无纠缠的张量积态 | 单独测量 | $I_{acc}(\mathcal{N})$ |
| 改进方法 | 纠缠态 | 集体测量 | $\frac{1}{k}I_{acc}(\mathcal{N}^{\otimes k})$ |

4. 经典容量定理

经典容量定理（也称为霍勒沃 - 舒马赫 - 韦斯特莫兰定理）指出，量子信道的霍勒沃信息是经典通信的可实现速率。霍勒沃信息在数学上比可访问信息更容易处理。

该定理的证明过程展示了前面提到的朴素策略通常不是最优的。证明表明，对所有信道输出进行集体测量，能让发送者和接收者以霍勒沃信息作为经典通信速率，这一策略从根本上利用了解码器处的量子力学效应，说明要实现霍勒沃信息，这种方法是必要的。不过，此策略虽在解码器处利用了集体测量，但在编码器处未使用纠缠态。也就是说，发送者可以输入在所有信道输入上纠缠的量子态，这种编码器纠缠可能会潜在地提高经典通信速率。

经典容量定理存在一个主要缺点，和量子香农理论中的许多其他结果一样，它仅表明霍勒沃信息是经典通信的可实现速率，其逆定理是“多字母”逆定理，这意味着在一般情况下，可能需要对潜在无限次的信道使用来评估霍勒沃信息。容量定理的多字母性质意味着一般信道的优化任务难以处理，因此我们对一般量子信道的实际经典容量了解甚少。

不过，对于许多自然量子信道，如去极化信道和去相位信道，其经典容量是已知的（这些信道的霍勒沃信息变为“单字母”），这些结果表明我们对这些信道的经典信息传输能力有了全面的了解，而这些结果都与量子信道霍勒沃信息的可加性有关。

下面用列表总结经典容量定理的要点：
- 核心结论 ：量子信道的霍勒沃信息是经典通信可实现速率。
- 证明关键 ：集体测量可实现霍勒沃信息速率。
- 编码器特点 ：未使用纠缠态，但编码器纠缠可能提升速率。
- 定理缺点 ：逆定理为多字母，一般信道优化难。
- 特殊情况 ：部分信道（如去极化、去相位信道）经典容量已知。

5. 编码器纠缠与经典通信速率

前面提到霍勒沃 - 舒马赫 - 韦斯特莫兰编码策略在编码器处未使用纠缠输入。自然会产生一个问题：编码器处的纠缠能否提高经典信息传输速率？这个问题被称为可加性猜想，多年来一直未得到解决。直到 Hastings（2009）证明，对于某些信道，纠缠输入可以提高通信速率。所以，对于这些信道，单字母霍勒沃信息不是经典容量的恰当表征（但这并不意味着不存在除霍勒沃信息之外的单字母表征经典容量的方法）。这些结果表明，在一般情况下，我们对经典通信的了解仍然很少，也说明量子香农理论是一个活跃的研究领域。

用 mermaid 流程图展示编码器纠缠对经典通信速率影响的研究过程：

graph LR
    A[提出可加性猜想] --> B[研究编码器纠缠作用]
    B --> C[Hastings 证明部分信道纠缠可提升速率]
    C --> D[反思经典容量表征]

6. 总结

量子香农理论中经典通信和纠缠操作的研究是一个充满挑战和机遇的领域。从纠缠浓度协议的发展，到量子信道经典容量的探索，我们取得了一些重要的成果，但也面临着许多未解决的问题。

经典通信的朴素方法虽然简单，但没有充分利用量子信道的特性，而经典容量定理展示了通过集体测量实现更高通信速率的可能性。编码器纠缠对经典通信速率的影响仍有待进一步研究，这也为量子香农理论的发展提供了新的方向。

未来，我们需要继续努力，寻找更好的量子信道容量表达式，以计算任意量子信道的容量，从而更深入地理解量子信息的传输和处理机制。

通过表格总结量子香农理论中经典通信相关概念和结果：
| 概念/结果 | 描述 |
| ---- | ---- |
| 纠缠浓度协议 | 借鉴经典类型方法，相干应用，早期发现的量子香农理论协议 |
| 经典通信朴素方法 | 未利用量子效应，通信速率为可访问信息 |
| 经典容量定理 | 霍勒沃信息是经典通信可实现速率，证明需集体测量 |
| 编码器纠缠 | 部分信道中可提高经典通信速率，单字母霍勒沃信息不一定适用 |
| 未解决问题 | 一般信道经典容量、编码器纠缠的全面影响等 |