60、量子香农理论：历史、现状与未来展望

量子香农理论：历史、现状与未来展望

1. 量子香农理论的发展历程

量子香农理论在不断发展，众多研究者在不同方面取得了重要成果。
- 动态双资源量子香农理论 ：Shor（2004b）考虑了速率受限纠缠辅助下信道的经典容量，计算出了一个权衡曲线，该曲线决定了发送者如何最优地在无噪声纠缠的消耗和无噪声经典通信的生成之间进行权衡，同时也界定了一个由纠缠消耗速率和生成的经典通信速率组成的速率区域。这一结果启发了Devetak & Shor（2005）考虑发送者利用量子信道同时传输无噪声经典和量子信息的场景，后来在量子纠错理论中形成的方案基础上，这种场景被称为“经典增强量子编码”。Devetak & Shor（2005）对一般信道的经典增强量子容量区域进行了多字母表征，并且证明了广义去相位信道和擦除信道具有单字母容量区域。Devetak等人（2004）和Devetak等人（2008）的工作使这一理论达到了顶峰，他们对几乎所有可以考虑的两种资源和一个量子信道的组合进行了多字母表征。
- 其他相关研究 ：其他研究者同时考虑了在动态双资源量子香农理论之外的任务中，无噪声资源之间如何相互权衡，如量子压缩（Koashi & Imoto，2001；Barnum，Hayden，Jozsa & Winter，2001；Hayden等人，2002）、远程态制备（Abeyesinghe & Hayden，2003；Bennett等人，2005）和混合量子存储器（Kuperberg，2003）。
- 动态三资源量子香农理论 ：Hsieh & Wilde（2010a），Hsieh & Wilde（2010b）和Wilde & Hsieh（2012b）考虑了动态三资源量子香农理论，对纠缠辅助量子信道同时传输经典和量子信息的能力进行了多字母表征。Hsieh & Wilde（2010a）还构建了一个新的协议，称为“经典增强父协议”，该协议在纠缠辅助量子信道上传输经典和量子信息时优于时分策略。Brádler等人（2010）表明量子哈达玛信道具有单字母容量区域。后来的研究继续探索信息权衡（Jochym - O’Connor等人，2011；Wilde & Hsieh，2012a）。
- 纯损耗玻色子信道的研究 ：Wilde，Hayden & Guha（2012a）和Wilde，Hayden & Guha（2012b）找到了纯损耗玻色子信道的量子动态容量区域（直到一个长期存在的最小输出熵猜想）。Giovannetti，Guha，Lloyd，Maccone，Shapiro & Yuen（2004）找到了纯损耗玻色子信道的经典容量，其他人找到了其纠缠辅助经典和量子容量以及量子容量。长期存在的最小输出熵猜想在相关论文中有详细阐述。

2. 资源不等式与资源分类

在量子香农理论中，资源不等式是一个重要的概念，它是一种可实现性的陈述：$\sum_{k} \alpha_{k} \geq \sum_{j} \beta_{j}$，意味着左边的资源${\alpha_{k}}$可以模拟右边的资源${\beta_{j}}$，模拟可以是精确有限的或渐近完美的。资源可以进行如下分类：
|分类维度|具体类型|
| ---- | ---- |
|资源性质|单位、无噪声、有噪声|
|资源状态|动态、静态（动态资源还可以是相对的）|
|资源类型|经典、量子、混合|

单位资源包括：
- $[c \to c]$：表示一个无噪声经典比特信道。
- $[q \to q]$：表示一个无噪声量子比特信道。
- $[qq]$：表示一个无噪声纠缠比特（ebit）。
- $[q \to qq]$：表示一个无噪声相干比特信道。
- $[c \to c] {priv}$：表示一个无噪声私有经典比特信道。
- $[cc] {priv}$：表示一个无噪声的密钥比特。

无噪声资源的例子有Alice和Bob共享的纯二部态$|\varphi\rangle_{AB}$或从Alice到Bob的恒等信道$id_{A \to B}$，有噪声资源的例子可以是混合二部态$\rho_{AB}$或有噪声信道$N_{A’ \to B}$。单位资源是无噪声资源的特殊情况，无噪声资源又是有噪声资源的特殊情况。共享状态$\rho_{AB}$是有噪声静态资源的例子，信道$N$是有噪声动态资源的例子，在资源不等式中分别用$\langle\rho\rangle$或$\langle N\rangle$表示，必要时可以更精确地将$\langle N\rangle$写为动态相对资源$\langle N_{A’ \to B} : \sigma_{A’}\rangle$，意味着协议只有在输入到信道的状态是$\sigma_{A’}$时才有效。

3. 单位协议

单位协议在量子香农理论中具有基础地位，以下是一些重要的单位协议：
- 纠缠分布 ：$[q \to q] \geq [qq]$
- ** teleportation ：$2 [c \to c] + [qq] \geq [q \to q]$
- 超密集编码 ：$[q \to q] + [qq] \geq 2 [c \to c]$
- 相干密集编码 ：$[q \to q] + [qq] \geq 2 [q \to qq]$
- 相干 teleportation**：$2 [q \to qq] \geq [q \to q] + [qq]$

由于相干密集编码和相干 teleportation 的资源不等式在资源反转下是对偶的，这意味着存在相干通信恒等式：$2 [q \to qq] = [q \to q] + [qq]$。此外，还有资源不等式$[q \to q] \geq [q \to qq] \geq [qq]$。其他未详细介绍的单位协议包括一次性密码本、密钥分发和私有到公共传输等。

4. 无噪声量子香农理论

无噪声量子香农理论主要涉及单位资源和一个非单位无噪声资源（如恒等信道或纯二部态）之间的资源不等式。
- Schumacher 压缩 ：可以通过以等于熵$H(A) {\rho}$的速率利用无噪声量子比特信道来模拟作用于混合态$\rho {A}$的恒等信道$id_{A \to B}$，即$H(A) {\rho} [q \to q] \geq \langle id {A \to B} : \rho_{A}\rangle$。同时，如果有$n$次使用恒等信道的机会，量子通信的相干信息的可实现性意味着可以以等于$H(B) - H(E)$的速率通过该信道发送量子数据，由于信道是恒等信道，$H(E) = 0$且$H(B) = H(A) {\rho}$，所以有$\langle id {A \to B} : \rho_{A}\rangle \geq H(A) {\rho} [q \to q]$，将这两个不等式结合得到$\langle id {A \to B} : \rho_{A}\rangle = H(A) {\rho} [q \to q]$。
- 纠缠浓缩与稀释 ：纠缠浓缩可以将许多副本的纯二部态$|\varphi\rangle {AB}$以等于纠缠熵的速率转换为 ebits，即$\langle\varphi_{AB}\rangle \geq H(A) {\varphi} [qq]$。纠缠稀释利用亚线性量的经典通信将 ebits 稀释为$n$个副本的纯二部态$|\varphi\rangle {AB}$，忽略亚线性速率的经典通信得到$H(A) {\varphi} [qq] \geq \langle\varphi {AB}\rangle$，将两者结合得到$\langle\varphi_{AB}\rangle = H(A)_{\varphi} [qq]$。无噪声量子香农理论令人满意的地方在于可以得到资源等式，说明了无噪声量子比特信道与相对恒等信道以及纯二部态与 ebits 之间的相互转换性。

5. 有噪声量子香农理论

有噪声量子香农理论涉及有噪声资源（如有噪声信道或有噪声状态）与其他单位资源之间的资源不等式，可进一步分为动态和静态资源不等式。

动态资源不等式 ：许多有噪声量子香农理论的协议从以下形式的状态生成随机码：
$\rho_{XABE} \equiv \sum_{x} p_{X}(x)|x\rangle\langle x| {X} \otimes U {N_{A’ \to BE}}(\varphi_{x}^{AA’})$
其中$\varphi_{x}^{AA’}$是纯二部态，$U_{N_{A’ \to BE}}$是信道$N_{A’ \to B}$的等距扩展，还有一个重要的特殊情况：
$\sigma_{ABE} \equiv U_{N_{A’ \to BE}}(\varphi_{AA’})$

以下是一些重要的动态资源不等式协议：
- Holevo - Schumacher - Westmoreland 编码 ：用于量子信道上的经典通信，$\langle N\rangle \geq I(X; B) {\rho} [c \to c]$。
- Devetak - Cai - Winter - Yeung 编码 ：用于量子信道上的私有经典通信，$\langle N\rangle \geq (I(X; B) {\rho} - I(X; E) {\rho}) [c \to c] {priv}$。
- Devetak 方法 ：用于量子信道上的相干通信，$\langle N\rangle \geq I(A\rangle B) {\sigma} [q \to qq]$，并且可以渐近转换为量子通信协议$\langle N\rangle \geq I(A\rangle B) {\sigma} [q \to q]$。
- Bennett - Shor - Smolin - Thapliyal 编码 ：用于纠缠辅助量子信道上的经典通信，$\langle N\rangle + H(A) {\sigma} [qq] \geq I(A; B) {\sigma} [c \to c]$。
- 纠缠辅助相干通信 ：$\langle N\rangle + H(A) {\sigma} [qq] \geq I(A; B) {\sigma} [q \to qq]$，结合相干通信恒等式得到纠缠辅助量子通信协议$\langle N\rangle + \frac{1}{2}I(A; E) {\sigma} [qq] \geq \frac{1}{2}I(A; B) {\sigma} [q \to q]$。
- 纠缠辅助经典和量子信息通信 ：$\langle N\rangle + \frac{1}{2}I(A; E|X) {\sigma} [qq] \geq \frac{1}{2}I(A; B|X) {\sigma} [q \to q] + I(X; B) {\sigma} [c \to c]$。
- 有限纠缠的纠缠辅助经典通信 ：$\langle N\rangle + H(A|X) {\sigma} [qq] \geq I(AX; B) {\sigma} [c \to c]$。
- 同时经典和量子通信 ：$\langle N\rangle \geq I(X; B) {\sigma} [c \to c] + I(A\rangle BX)_{\sigma} [q \to q]$。

静态资源不等式 ：涉及有噪声状态$\rho_{AB}$与单位资源的交互，例如：
- 相干辅助态转移 ：$\langle W_{S \to AB} : \rho_{S}\rangle + H(A) {\rho} [q \to q] \geq I(A; B) {\rho} [q \to qq] + \langle id_{S \to \hat{B}B} : \rho_{S}\rangle$，忽略源和态转移得到量子辅助相干通信协议$\langle\rho\rangle + H(A) {\rho} [q \to q] \geq I(A; B) {\rho} [q \to qq]$。
- 量子辅助态转移 ：$\langle W_{S \to AB} : \rho_{S}\rangle + \frac{1}{2}I(A; R) {\phi} [q \to q] \geq \frac{1}{2}I(A; B) {\phi} [qq] + \langle id_{S \to \hat{B}B} : \rho_{S}\rangle$。
- 经典辅助态转移 ：$\langle W_{S \to AB} : \rho_{S}\rangle + I(A; R) {\phi} [c \to c] \geq I(A\rangle B) {\phi} [qq] + \langle id_{S \to \hat{B}B} : \rho_{S}\rangle$。
- 有噪声超密集编码 ：$\langle\rho\rangle + H(A) {\rho} [q \to q] \geq I(A; B) {\rho} [c \to c]$。
- 有噪声 teleportation ：$\langle\rho\rangle + I(A; B) {\rho} [c \to c] \geq I(A\rangle B) {\rho} [q \to q]$。

6. 未涵盖的协议

除了上述介绍的协议，还有一些重要的协议未详细介绍，例如：
- 量子态重分布 ：假设Alice和Bob共享许多副本的三方态$\rho_{ACB}$，Alice的目标是将态的$C$部分转移给Bob，并使用最少的资源。Devetak & Yard（2008）和Yard & Devetak（2009）展示了以下态重分布协议：
$\langle W_{S \to AC|B} : \rho_{S}\rangle + \frac{1}{2}I(C; RB) {\phi} [q \to q] + \frac{1}{2}I(C; A) {\phi} [qq] \geq \langle W_{S \to A|CB} : \rho_{S}\rangle + \frac{1}{2}I(C; B) {\phi} [q \to q] + \frac{1}{2}I(C; B) {\phi} [qq]$
他们还证明了该资源不等式给出了量子通信速率$Q$和纠缠消耗速率$E$的最优成本对，其中$Q = \frac{1}{2}I(C; R|B) {\phi}$，$E = \frac{1}{2} [I(C; A) {\phi} - I(C; B) {\phi}]$，该协议为条件量子互信息$\frac{1}{2}I(C; R|B) {\phi}$在量子态重分布中所需的净量子通信速率提供了直接的操作解释。
- 量子反向香农定理 ：简单版本的量子反向香农定理给出了一种通过利用经典通信和纠缠来模拟信道$N_{A’ \to B}$对输入状态$\rho_{A’}$的作用的方法：
$H(B) {\sigma} [qq] + I(R; B) {\sigma} [c \to c] \geq \langle N_{A’ \to B} : \rho_{A’}\rangle$
其中$\sigma_{RB} \equiv N_{A’ \to B}(\phi_{RA’})$，$\phi_{RA’}$是$\rho_{A’}$的纯化。量子反向香农定理的一个用途是表明在共享纠缠的情况下一个信道如何模拟另一个信道，在模拟信道$N_{A’ \to B}$时，环境也被模拟并最终归Alice所有，因此实际上模拟了量子反馈信道$U_{N_{A’ \to AB}}$，可重写为$H(B) {\sigma} [qq] + I(R; B) {\sigma} [c \to c] \geq \langle U_{N_{A’ \to AB}} : \rho_{A’}\rangle$。可以将经典通信升级为相干通信，得到相干全量子版本的量子反向香农定理：
$\frac{1}{2}I(A; B) {\sigma} [qq] + \frac{1}{2}I(R; B) {\sigma} [q \to q] \geq \langle U_{N_{A’ \to AB}} : \rho_{A’}\rangle$
结合另一个资源不等式得到资源等式$\langle U_{N_{A’ \to AB}} : \rho_{A’}\rangle = \frac{1}{2}I(A; B) {\sigma} [qq] + \frac{1}{2}I(R; B) {\sigma} [q \to q]$，这是相干通信恒等式的推广。更一般版本的量子反向香农定理量化了模拟多个独立实例的量子信道对任意输入状态所需的资源，证明更为复杂。

其他未涵盖的协议还包括远程态制备、有量子边信息的经典压缩、公共和私有资源与信道之间的权衡、压缩中的权衡、有噪声状态与三个单位资源的权衡、测量压缩、有量子边信息的测量压缩以及测量信道模拟等，资源不等式形式主义有助于通过想象一些资源为单位资源，另一些为有噪声资源来设计量子香农理论中的新协议。

7. 网络量子香农理论

近年来，网络量子香农理论领域兴起，其动机是未来我们将面对一个量子互联网，其中越来越复杂的信道可以连接多个发送者和多个接收者。
- 量子多址信道 ：有多个发送者和一个接收者，不同作者考虑了多址信道上的经典通信、量子通信、纠缠辅助协议以及非加性效应等。
- 量子广播信道 ：有一个发送者和多个接收者，不同作者在该场景下进行了类似的研究。
- 量子干扰信道 ：有多个发送者和多个接收者，某些发送 - 接收对有通信需求，近期在该方向上有一定进展。此外，还可以考虑分布式压缩任务，不同作者在该方向上做出了贡献。我们可以想象未来会有一本教科书总结网络量子香农理论的所有进展以及处理此类信道编码所需的新技术。

8. 未来研究方向

量子香农理论虽然已经取得了很多成果，但仍有许多重要问题有待解决。
- 寻找更好的容量公式 ：目前对经典容量的最佳表征是使用HSW公式的正则化版本，这在很多方面并不令人满意。同样，需要为私有经典容量、量子容量以及权衡容量找到更好的公式，这些公式的正则化在一般情况下似乎是必要的，可能在某些有限张量幂的信道上计算的熵表达式就足以表征不同任务的容量，但这是一个难以回答的问题。有趣的是，近期的工作表明可以研究这个问题是否在算法上不可判定。量子容量的超激活和私有容量的非加性等效应凸显了我们在一般情况下对相应信息处理任务的了解还很少，需要更全面地理解这些效应，并探索是否可以在实际通信方案中利用它们。此外，扩大具有加性容量的信道数量也是一个重要方向，例如找到非退化量子信道的量子容量将是一个重大成果。关于二阶表征、误差指数和强逆的许多问题仍然开放，这些方向的结果可以更精细地表征通信任务。
- 继续探索网络量子香农理论 ：单发送者单接收者信道设置是一个有用的研究模型，适用于许多实际场景，但最终我们将面对连接多个输入和多个输出的信道。理解这些场景下的信息传输有助于指导实际通信方案的设计，甚至可能为上述开放问题提供思路。

量子香农理论：历史、现状与未来展望

8. 未来研究方向（续）

除了前面提到的寻找更好的容量公式和继续探索网络量子香农理论这两个重要方向外，还有一些其他方面的研究也值得关注。

在容量公式的研究中，目前的正则化问题使得我们难以得到简洁且通用的表达式。以量子容量为例，其超激活现象表明我们对量子信道在复杂情况下的信息传输能力认识不足。超激活指的是两个本身没有量子容量的信道，组合在一起后却具有了量子容量。这种现象打破了我们对量子信道容量的常规认知，也凸显了寻找更准确容量公式的紧迫性。

对于非加性效应，如私有容量的非加性，意味着多个信道组合时，其总容量并非简单地等于各信道容量之和。这就需要我们深入研究信道之间的相互作用，探索如何利用这种非加性来提高通信效率。例如，在设计通信方案时，可以尝试将具有不同特性的信道进行组合，以实现更高效的信息传输。

在网络量子香农理论方面，随着量子互联网的发展，多用户、多信道的复杂网络场景将成为常态。目前虽然已经有了一些关于量子多址信道、广播信道和干扰信道的研究，但还远远不够完善。

在量子多址信道中，多个发送者同时向一个接收者发送信息，如何协调各发送者的信号，避免干扰，提高信息传输的可靠性和效率，是一个亟待解决的问题。可以通过设计新的编码和调度算法来实现这一目标。

量子广播信道中，一个发送者向多个接收者发送信息，不同接收者可能有不同的需求和信道条件。如何根据接收者的情况进行个性化的信息分配，是提高广播效率的关键。

量子干扰信道中，多个发送 - 接收对之间存在干扰，如何消除或减少这种干扰，保证各对之间的有效通信，也是一个重要的研究方向。

以下是未来研究方向的一个简单流程图：

graph LR
    A[未来研究方向] --> B[寻找更好的容量公式]
    A --> C[继续探索网络量子香农理论]
    B --> B1[解决正则化问题]
    B --> B2[理解非加性效应]
    B --> B3[扩大加性容量信道数量]
    C --> C1[量子多址信道研究]
    C --> C2[量子广播信道研究]
    C --> C3[量子干扰信道研究]

9. 总结

量子香农理论从最初的Schumacher压缩等简单结果发展到如今涵盖众多复杂协议的体系，取得了显著的进展。它为我们理解量子信道上的信息传输和处理提供了重要的理论基础。

通过资源不等式的形式，我们可以清晰地描述不同资源之间的转换和利用关系，从单位协议到无噪声和有噪声量子香农理论，再到未涵盖的协议和网络量子香农理论，形成了一个完整的体系。

然而，正如前面所讨论的，该领域仍然存在许多挑战和未解决的问题。寻找更好的容量公式、深入理解非加性效应、探索网络量子香农理论等方向，都为未来的研究提供了广阔的空间。

在实际应用中，量子香农理论的发展将有助于推动量子通信技术的进步，为未来的量子互联网建设提供理论支持。例如，在设计量子通信网络时，我们可以根据网络量子香农理论的研究成果，优化信道的使用和资源的分配，提高通信的效率和可靠性。

总之，量子香农理论是一个充满活力和挑战的研究领域，未来的研究有望取得更多的突破和创新，为量子信息科学的发展做出更大的贡献。

以下是对量子香农理论各部分内容的一个简单总结表格：
|理论部分|主要内容|
| ---- | ---- |
|单位协议|纠缠分布、teleportation、超密集编码等基础协议|
|无噪声量子香农理论|Schumacher压缩、纠缠浓缩与稀释，实现资源的相互转换|
|有噪声量子香农理论|动态和静态资源不等式协议，处理有噪声信道和状态下的信息传输|
|未涵盖的协议|量子态重分布、量子反向香农定理等特殊协议|
|网络量子香农理论|量子多址、广播、干扰信道等复杂网络场景的研究|
|未来研究方向|寻找更好的容量公式、探索网络量子香农理论等|