42、量子信息处理中的压缩与纠缠操作

量子信息处理中的压缩与纠缠操作

1. 舒马赫压缩的变体

在量子信息处理中，舒马赫压缩是一个重要的概念。对于分布 $\left{\cos^{2}(\frac{\pi}{8}),\sin^{2}(\frac{\pi}{8})\right}$，其二元熵 $h_{2}(\cos^{2}(\frac{\pi}{8}))$ 约为 0.6009 量子比特。通过采用舒马赫压缩，在压缩率方面能够实现显著的节省，而且当集合中包含非正交量子态时，这种节省情况总是会出现。

考虑这样一个练习：若爱丽丝为状态关联一个经典标签，使得集合变为 $\left{\left(\frac{1}{2},|0\rangle\langle0|\otimes|0\rangle\langle0|\right),\left(\frac{1}{2},|1\rangle\langle1|\otimes|+\rangle\langle+|\right)\right}$，这是否有助于减少她需要传输给鲍勃的量子比特数量呢？

当量子信息源对应于集合 ${p_{X}(x),\rho_{x}^{A}}$ 时，情况会变得复杂，因为每个 $\rho_{x}$ 是混合态。这种情况下，源的熵不一定能作为最终压缩率的下限，这取决于我们为混合态压缩选择的优值。对于混合态源 ${p_{X}(x),\rho_{x}^{A}}$，其纯化态为 $|\varphi\rangle_{XX’RA}\equiv\sum_{x}\sqrt{p_{X}(x)}|x\rangle_{X}|x\rangle_{X’}\left|\varphi_{\rho_{x}}\right\rangle_{RA}$，其中 $\left|\varphi_{\rho_{x}}\right\rangl