50、量子通信中的纠缠辅助与相干通信

最新推荐文章于 2025-09-21 12:26:38 发布

cake8

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分类专栏：量子信息理论：从基础到前沿文章标签：量子通信纠缠辅助通信相干通信

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量子通信中的纠缠辅助与相干通信

1. 纠缠辅助经典通信基础

1.1 纠缠辅助经典容量

共享纠缠能简化量子香农理论。纠缠辅助容量定理指出，信道的量子互信息等于其纠缠辅助经典容量。该容量函数在输入态上是凹函数，输入态集合是凸集，这意味着找到局部最大值就等同于找到全局最大值。而且，信道互信息的逆定理和可加性表明无需对公式进行正则化处理。此外，量子反馈并不能提高该容量，这与经典香农理论中的情况类似。因此，纠缠辅助经典容量是香农容量公式在量子领域的自然推广。

1.2 特定信道的纠缠辅助经典容量计算

一些实际中感兴趣的信道，如去极化信道、去相位信道、振幅阻尼信道和擦除信道，其纠缠辅助经典容量的计算是本章的重点。这些信道都由单个参数控制噪声程度，且容量是该参数的简单函数。
- 去极化信道 ：对于量子比特去极化信道 $\rho \to (1 - p)\rho + p\pi$，其纠缠辅助经典容量为 $2 + (1 - 3p/4) \log(1 - 3p/4) + (3p/4) \log(p/4)$。
- 去相位信道 ：去相位信道 $\rho \to (1 - p/2) \rho + (p/2)Z\rho Z$ 的纠缠辅助经典容量为 $2 - h_2(p/2)$，其中 $p$ 是去相位参数。

1.3 容量定理的直接编码策略

容量定理的直接编码部分采用了类似于超密编码的策略，即在共享纠缠态的多个副本的类型类子空间中执行超密编码。如果初始共享态是最大纠缠态，该策略就等同于超密编码。本章介绍的特定协议具有一个吸引人的特点，即可以很容易地将其变为相干协议，就像相干密集编码是超密编码协议的相干版本一样。

2. 纠缠辅助经典通信的历史进展

在量子香农理论的发展历程中，众多学者做出了重要贡献：
- Adami 和 Cerf 在 1997 年认识到量子信道的互信息在量子香农理论中起着重要作用，并证明了其一些重要性质。
- Bennett 等人在 1999 年和 2002 年证明了信道的量子互信息可解释为其纠缠辅助经典容量。
- Hsieh、Devetak 和 Winter 在 2008 年给出了纠缠辅助经典容量定理直接部分的证明，该证明方法可引出后续的一系列结果。
- Giovannetti 和 Fazio 在 2005 年确定了振幅阻尼信道的几种容量，Wolf 和 Pérez - García 在 2007 年对其进行了进一步研究。
- Bowen 在 2004 年证明了无界量子反馈辅助的信道经典容量等于其纠缠辅助经典容量。

此外，关于纠缠辅助容量的强逆定理和二阶特征也有相关研究：
- Bennett 等人在 2014 年证明了量子反向香农定理，该定理量化了在发送者和接收者共享无限纠缠的情况下模拟量子信道所需的经典通信速率。
- Berta 等人在 2011 年给出了量子反向香农定理的另一种证明。
- Gupta 和 Wilde 在 2015 年利用 Rényi 熵直接证明了强逆定理。
- Cooney 等人在 2014 年表明在存在量子反馈信道的情况下，强逆界仍然成立。
- Datta 等人在 2014 年建立了纠缠辅助经典通信的二阶可达性结果，并证明了该特征对于某些信道是紧的。

3. 相干通信与纠缠辅助量子通信

3.1 相干通信与纠缠辅助经典编码的结合

相干密集编码是密集编码协议的相干版本，发送者和接收者可以对纠缠辅助经典编码协议的每个步骤进行相干操作，从而生成纠缠辅助相干编码协议。利用两个相干比特等同于一个量子比特和一个纠缠比特的事实，可得到纠缠辅助量子编码协议，该协议在完成任务时消耗的纠缠远少于简单策略。

3.2 纠缠辅助量子通信的实现

3.2.1 简单策略及其问题

如果 Alice 想利用信道和共享纠缠向 Bob 传输量子信息，一种简单的方法是将纠缠辅助经典通信协议与 teleportation 相结合。但这种简单策略需要额外消耗 $\frac{1}{2}I(A; B) {\rho}$ 的纠缠比特，其中 $\rho {AB} \equiv N_{A’ \to B}(\phi_{AA’})$。虽然该协议能达到纠缠辅助量子容量，但纠缠消耗率可能过高，因为 teleportation 和超密编码在资源反转下不是对偶的，反复使用会消耗无限的纠缠。

3.2.2 改进策略：纠缠辅助相干通信

定理 22.1.1 表明，对于量子信道 $N_{A’ \to B}$，存在以下资源不等式对应的可实现协议：
$\langle N \rangle + H(A) {\rho} [qq] \geq I(A; B) {\rho} [q \to qq]$，其中 $\rho_{AB} \equiv N_{A’ \to B}(\phi_{AA’})$。
该协议的步骤如下：
1. 假设 Alice 和 Bob 共享多个纯的二部纠缠态 $|\phi\rangle_{AB}$，Alice 有一个与参考系统 $R$ 共享的态 $|\psi\rangle_{RA_1} \equiv \sum_{l,m = 1}^{D^2} \alpha_{l,m} |l\rangle_R |m\rangle_{A_1}$。
2. Alice 将纠缠态 $|\phi\rangle_{A_nB_n}$ 附加到 $|\psi\rangle_{RA_1}$ 上，并应用受控幺正算符 $\sum_{m} |m\rangle\langle m| {A_1} \otimes U {A_n}(s(m))$。
3. Alice 通过量子信道 $N_{A \to B’}$ 发送系统 $A_n$，信道的等距扩展为 $U_N^{A \to B’E}$。
4. Bob 应用相干温和测量 $\sum_{m} \sqrt{\Lambda_m^{B’nB_n}} \otimes |m\rangle_{B_1}$。
5. Bob 应用受控幺正算符 $\sum_{m} |m\rangle\langle m| {B_1} \otimes U^* {B_n}(s(m))$ 以去除与环境的耦合。

3.2.3 从纠缠辅助相干通信到量子通信

利用相干通信恒等式，可将纠缠辅助相干通信协议转换为纠缠辅助量子通信协议。推论 22.1.1 指出，对于量子信道 $N_{A’ \to B}$，存在以下资源不等式对应的可实现协议：
$\langle N \rangle + \frac{1}{2}I(A; E) {\phi} [qq] \geq \frac{1}{2}I(A; B) {\phi} [q \to q]$，其中 $|\phi\rangle_{ABE} \equiv U_N^{A’ \to BE}|\phi\rangle_{AA’}$ 且 $U_N^{A’ \to BE}$ 是信道 $N_{A’ \to B}$ 的等距扩展。

3.3 其他相关协议

3.3.1 噪声超密编码

纠缠辅助经典通信是超密编码的一种推广，其中无噪声量子比特信道变为任意噪声量子信道，而无噪声纠缠比特保持不变。另一种推广是噪声超密编码，其中共享纠缠变为共享噪声态 $\rho_{AB}$，无噪声量子比特信道保持不变。本章使用的噪声超密编码协议与前一章的纠缠辅助经典通信协议基本等效，只是进行了一些修改以适应不同的设置。

3.3.2 相干态转移

可以构建噪声超密编码的相干版本，即相干态转移协议。该协议不仅能在 Alice 和 Bob 之间实现相干通信，还能让 Alice 将其在态 $\rho_{AB}$ 中的份额转移给 Bob。通过将相干态转移与相干通信恒等式和 teleportation 相结合，可分别得到量子辅助态转移和经典辅助态转移协议。经典辅助态转移协议为条件量子熵 $H(A|B) {\rho}$ 提供了操作解释：如果它为正，则协议以 $H(A|B) {\rho}$ 的速率消耗纠缠；如果为负，则以 $|H(A|B)_{\rho}|$ 的速率生成纠缠。

3.3.3 纠缠辅助的经典和量子信息通信

纠缠辅助经典通信协议还允许发送者向接收者同时传输相干比特和非相干经典比特，并且可以在这两种资源之间进行权衡。通过结合相关协议和相干通信恒等式，可得到纠缠辅助的经典和量子信息通信协议。这些协议与 teleportation、超密编码和纠缠分布一起，足以完成动态量子香农理论中涉及经典比特、量子比特和纠缠比特这三种单位资源的任何任务，它们给出了一个三维可达速率区域，是对发送者和接收者使用量子信道和三种单位资源完成信息处理任务的最佳已知描述。

4. 总结与展望

4.1 纠缠辅助通信的优势与意义

纠缠辅助在量子通信中展现出了显著的优势。它不仅简化了量子香农理论，使得信道的量子互信息能够直接对应其纠缠辅助经典容量，而且通过采用类似于超密编码的策略，为量子通信提供了有效的编码方式。此外，相干版本的协议进一步优化了资源的利用，减少了纠缠的消耗，提高了通信效率。

4.2 量子香农理论的挑战与未来方向

尽管纠缠辅助经典通信取得了重要进展，但量子香农理论在其他容量定理方面仍面临挑战。例如，私有经典容量和量子容量的最佳表达式往往需要进行公式的正则化处理，在一般情况下这些公式的实用性有限。未来研究的一个重要目标是改进这些公式，以更好地理解实现相关信息处理任务的最佳策略。随着研究的深入，我们有望进一步挖掘量子通信的潜力，实现更高效、更安全的量子信息传输。

4.3 协议的综合应用与发展

多种协议如纠缠辅助经典通信、噪声超密编码、相干态转移等相互结合，为量子通信提供了丰富的解决方案。这些协议在不同场景下的应用和优化，将推动量子通信技术的不断发展。例如，纠缠辅助的经典和量子信息通信协议能够实现多种资源的灵活权衡，为实际应用中的多样化需求提供了可能。未来，我们可以期待这些协议在量子网络、量子计算等领域发挥更大的作用。

5. 纠缠辅助通信相关定理与协议的详细分析

5.1 纠缠辅助经典容量定理分析

纠缠辅助经典容量定理将信道的量子互信息与纠缠辅助经典容量联系起来，这一联系具有重要的理论和实际意义。从理论角度看，它为量子香农理论提供了一个简洁而强大的框架，使得我们能够更深入地理解量子信道的信息传输能力。在实际应用中，它为设计高效的量子通信协议提供了指导。

理论意义	实际应用
简化量子香农理论，明确容量与互信息的关系	指导设计高效量子通信协议，提高通信效率
为信道分析提供数学基础	帮助评估不同信道的性能

该定理的证明基于信道互信息的性质，如凹性和可加性。这些性质保证了在寻找容量的最大值时，不需要进行复杂的全局搜索，只需要找到局部最大值即可。这大大简化了计算过程，使得我们能够更方便地计算不同信道的纠缠辅助经典容量。

5.2 纠缠辅助相干通信协议流程

纠缠辅助相干通信协议是实现量子通信的关键步骤，下面通过 mermaid 流程图详细展示其流程：

graph TD;
    A[Alice 和 Bob 共享纠缠态|\phi\rangle_{AB}] --> B[Alice 准备态|\psi\rangle_{RA_1}];
    B --> C[Alice 附加纠缠态并应用受控幺正算符];
    C --> D[Alice 通过信道发送系统 A_n];
    D --> E[Bob 应用相干温和测量];
    E --> F[Bob 应用受控幺正算符去除耦合];

这个流程清晰地展示了协议的各个步骤，从初始的纠缠态共享，到 Alice 的编码操作，再到通过信道传输和 Bob 的解码操作。每一步都紧密相连，共同实现了量子信息的相干传输。

5.3 纠缠辅助量子通信协议的资源分析

纠缠辅助量子通信协议的资源分析对于评估协议的效率至关重要。通过资源不等式可以直观地看到协议所需的资源和能够实现的通信效果。

资源不等式	含义
$\langle N \rangle + H(A) {\rho} [qq] \geq I(A; B) {\rho} [q \to qq]$	表示使用信道和一定量的纠缠资源可以实现相干通信
$\langle N \rangle + \frac{1}{2}I(A; E) {\phi} [qq] \geq \frac{1}{2}I(A; B) {\phi} [q \to q]$	表示使用信道和较少的纠缠资源可以实现量子通信

从这些资源不等式可以看出，通过合理设计协议，可以在保证通信效果的前提下，减少纠缠资源的消耗。这对于实际应用中纠缠资源的稀缺性具有重要意义。

6. 不同协议之间的关联与转换

6.1 纠缠辅助经典通信与量子通信协议的转换

纠缠辅助经典通信协议可以通过与 teleportation 结合转换为量子通信协议，但这种简单转换存在纠缠消耗过高的问题。而通过相干通信恒等式，可以将纠缠辅助相干通信协议转换为更高效的纠缠辅助量子通信协议。

下面是转换过程的列表说明：
1. 简单转换：将纠缠辅助经典通信协议与 teleportation 结合，需要额外消耗 $\frac{1}{2}I(A; B)_{\rho}$ 的纠缠比特。
2. 改进转换：利用相干通信恒等式，从纠缠辅助相干通信协议得到纠缠辅助量子通信协议，减少了纠缠消耗。

6.2 噪声超密编码与其他协议的关系

噪声超密编码是超密编码的一种推广，它与纠缠辅助经典通信协议和相干态转移协议密切相关。噪声超密编码协议在共享噪声态的情况下，通过对纠缠辅助经典通信协议进行修改，实现了信息的传输。而相干态转移协议则是噪声超密编码的相干版本，它不仅实现了相干通信，还能实现态的转移。

协议名称	与噪声超密编码的关系
纠缠辅助经典通信协议	噪声超密编码是其在共享噪声态下的推广
相干态转移协议	是噪声超密编码的相干版本，功能更强大