47、量子通信中的霍勒沃信息与纠缠辅助经典通信

量子通信中的霍勒沃信息与纠缠辅助经典通信

霍勒沃信息的超可加性

在量子通信领域，霍勒沃信息（Holevo information）一直是研究经典容量的重要指标。曾经，许多研究者认为霍勒沃信息对于所有量子信道都是可加的，这一猜想被称为可加性猜想。他们有此想法是因为发现了一些信道确实满足可加性，但不同信道的证明缺乏共同主题，于是开始寻找反例来推翻该猜想。最终，Hastings在2009年找到了反例，表明该猜想在一般情况下不成立。这一结果说明量子香农理论中一些最基本的问题仍有待解决，同时也揭示了编码器处的纠缠能够提高量子信道上的经典通信速率。

我们先来回顾一下霍勒沃信息与张量积信道最小输出熵之间的关系。假设有两个信道 $N$ 和 $M$，对于张量积信道的霍勒沃信息，若满足 $\chi(N \otimes M) = \chi(N) + \chi(M)$，则称其是可加的。但实际上，对于任意两个信道，霍勒沃信息总是超可加的，即 $\chi(N \otimes M) \geq \chi(N) + \chi(M)$。当 $\chi(N \otimes M) > \chi(N) + \chi(M)$ 时，我们称其是非可加的。

而张量积信道的最小输出熵 $H_{min}(N \otimes M)$ 与霍勒沃信息相关。若 $H_{min}(N \otimes M) = H_{min}(N) + H_{min}(M)$，则最小输出熵是可加的。但它总是次可加的，即 $H_{min}(N \otimes M) \leq H_{min}(N) + H_{min}(M)$。当 $H_{min}(N \otimes M) < H_{min}(N) + H_{min}(M)$ 时，称其是非可加的。

这两个量的可加性是相关的，可以证明霍勒沃信息的可加性意味着最小输出熵的可加性，反之亦然。因此，研究者更关注最小输出熵的可加性，因为它更易于处理。

下面我们来看一个证明：非可加性的最小输出熵意味着霍勒沃信息的非可加性，即 $H_{min}(N_1 \otimes N_2) < H_{min}(N_1) + H_{min}(N_2) \Rightarrow \chi(N_1 \otimes N_2) > \chi(N_1) + \chi(N_2)$。证明提示：考虑每个信道 $N_i$ 的增强版本 $N_i’$，其第一个输入与 $N_i$ 的输入相同，第二个输入是控制输入，信道的作用相当于测量辅助输入 $\sigma$ 并应用广义泡利算子：
$N_i’(\rho \otimes \sigma) \equiv \sum_{k,l} X(k)Z(l)N_i(\rho)Z^{\dagger}(l)X^{\dagger}(k) \langle k|\langle l|\sigma|k\rangle|l\rangle$。
我们需要思考增强信道 $N_i’$ 的霍勒沃信息以及增强信道张量积 $N_1’ \otimes N_2’$ 的霍勒沃信息。证明该陈述后，我们也能得出霍勒沃信息的可加性意味着最小输出熵的可加性。

为了构造一个霍勒沃信息非可加的信道，我们考虑以下形式的随机酉信道：
$E(\rho) \equiv \sum_{i=1}^{D} p_iU_i\rho U_i^{\dagger}$，
其中输入状态的维度为 $N$，随机酉算子的数量为 $D$，且满足 $1 \ll D \ll N$。另一个用于反驳可加性的信道是共轭信道 $\overline{E}(\rho) \equiv \sum_{i=1}^{D} p_i\overline{U} i\rho \overline{U}_i^{\dagger}$，其中 $p_i$ 和 $U_i$ 与信道 $E$ 相同，$\overline{U}_i$ 表示 $U_i$ 的复共轭。目标是证明在所有这种形式的信道中，存在非零概率使得最小输出熵是非可加的，即 $H {min}(E \otimes \overline{E}) < H_{min}(E) + H_{min}(\overline{E})$。

一个可能使张量积信道 $E \otimes \overline{E}$ 的最小输出熵达到饱和的好候选状态是最大纠缠态 $|\Phi\rangle$，定义为：
$|\Phi\rangle \equiv \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{i=0}^{N - 1} |i\rangle|i\rangle$。

考虑张量积信道 $E \otimes \overline{E}$ 对最大纠缠态 $\Phi$ 的作用：
$(E \otimes \overline{E})(\Phi) = \sum_{i,j=1}^{D} p_ip_j(U_i \otimes \overline{U} j)\Phi(U_i^{\dagger} \otimes \overline{U}_j^{\dagger})$
$= \sum {i=j} p_i^2 (U_i \otimes \overline{U} i)\Phi(U_i^{\dagger} \otimes \overline{U}_i^{\dagger}) + \sum {i\neq j} p_ip_j(U_i \otimes \overline{U} j)\Phi(U_i^{\dagger} \otimes \overline{U}_j^{\dagger})$
$= 2\sum {i=1}^{D} p_i^2 \Phi + \sum_{i\neq j} p_ip_j(U_i \otimes \overline{U}_j)\Phi(U_i^{\dagger} \otimes \overline{U}_j^{\dagger})$。
这里最后一行使用了对于任意算子 $M$，有 $(M \otimes I) |\Phi\rangle = (I \otimes M^T) |\Phi\rangle$（这意味着 $(U \otimes \overline{U}) |\Phi\rangle = |\Phi\rangle$）。与输入乘积态到信道得到的状态相比，上述状态的噪声更小，因为 $D$ 种随机酉算子的组合（具有相同索引的那些）对最大纠缠态没有影响。

利用Hastings（2009）的技术，我们可以得到最小输出熵的上界：
$H_{min}(E \otimes \overline{E}) \leq H((E \otimes \overline{E})(\Phi)) \leq 2 \ln D - \frac{\ln D}{D}$，
对于足够大的 $N$ 和 $D$。同时，我们还可以证明 $H_{min}(E) \geq \ln D - \delta S_{max}$，其中 $\delta S_{max} \equiv c\frac{D + poly(D)}{\sqrt{\frac{\ln N}{N}}}$，$c$ 是一个常数，$poly(D)$ 表示 $D$ 的多项式项。因此，对于足够大的 $D$ 和 $N$，有 $2\delta S_{max} < \frac{\ln D}{D}$，从而得到存在一个信道使得可加性被违反，即 $H_{min}(E \otimes \overline{E}) \leq 2 \ln D - \frac{\ln D}{D} < 2 \ln D - 2\delta S_{max} \leq H_{min}(E) + H_{min}(\overline{E})$。

相关定理的意义与应用

HSW定理在一定程度上对某些类别的信道的经典容量进行了很好的刻画，但也暴露出我们对一般量子信道上经典传输的理解不足。当霍勒沃信息可加时，它是量子信道经典容量的有用表征，但正则化的霍勒沃信息由于难以计算，在表征经典容量方面并不实用。这表明可能存在更好的公式来表征经典容量，但截至目前，这样的公式尚未被发现。

不过，HSW定理仍有其重要意义。它至少比用正则化可访问信息来表征量子信道经典容量的最朴素方法更进了一步。HSW的主要贡献在于构造了一个显式的POVM（对应于随机选择的码），使得发送者和接收者能够以等于信道霍勒沃信息的速率进行通信。该定理在不同的通信场景中也有助于确定可实现的速率，例如两个发送者通过噪声介质向单个接收者通信，或者单个发送者同时向接收者传输经典和量子信息。

以去极化信道为例，它的经典容量有一个简单的表达式。实现该信道容量的方案相当经典，发送者只需从某个正交基中均匀随机选择码字，接收者只需在相同的正交基中对单个信道输出进行测量。在这个编码方案中，编码器处的纠缠不起作用，解码测量作用于单个信道输出。

下面是一个简单的表格总结霍勒沃信息和最小输出熵的相关性质：
| 性质 | 霍勒沃信息 | 最小输出熵 |
| ---- | ---- | ---- |
| 可加性条件 | $\chi(N \otimes M) = \chi(N) + \chi(M)$ | $H_{min}(N \otimes M) = H_{min}(N) + H_{min}(M)$ |
| 一般性质 | 超可加性：$\chi(N \otimes M) \geq \chi(N) + \chi(M)$ | 次可加性：$H_{min}(N \otimes M) \leq H_{min}(N) + H_{min}(M)$ |
| 非可加性条件 | $\chi(N \otimes M) > \chi(N) + \chi(M)$ | $H_{min}(N \otimes M) < H_{min}(N) + H_{min}(M)$ |

我们还可以用mermaid流程图来展示霍勒沃信息可加性和最小输出熵可加性之间的关系：

graph LR
    A[霍勒沃信息可加性] -->|意味着| B[最小输出熵可加性]
    B -->|意味着| A

纠缠辅助经典通信

在量子通信中，共享纠缠常常是有帮助的。以无噪声量子比特信道为例，没有共享纠缠时，发送者通过无噪声量子比特信道可靠传输的经典信息最多只有一个经典比特。而有了共享纠缠，就可以实现超密编码，即使用一个无噪声量子比特信道和一个共享的无噪声纠缠比特，发送者可以可靠地传输两个经典比特。

自然地，我们会思考共享纠缠是否有助于在有噪声的量子信道 $N$ 上传输经典信息。假设Alice和Bob可以使用任意形式的无限供应的纠缠，我们想确定在以下资源不等式中，Alice能可靠地向Bob传输的最高经典通信速率 $C$：
$\langle N\rangle + \infty[qq] \geq C [c \to c]$。

这个问题的答案由纠缠辅助经典容量定理给出。该定理表明，量子信道 $N$ 的互信息 $I(N)$ 等于其纠缠辅助经典容量，其中 $I(N) \equiv \max_{\phi_{AA’}} I(A; B) {\rho}$，$\rho {AB} \equiv N_{A’ \to B}(\phi_{AA’})$，并且最大化是针对所有形式为 $\phi_{AA’}$ 的纯二部态。值得强调的是，为了表征容量，这个公式不需要正则化，其值就等于容量。而且，公式（21.3）所设定的优化任务是一个直接的凸优化问题，因为量子互信息关于输入状态 $\phi_{A’}$ 是凹的，密度算子集合是凸的，所以任何局部最大值都是全局最大值。

从信息论者的角度来看，只有当存在一个易于处理的公式等于实现特定操作任务的最优速率时，我们才能说一个容量定理得到了解决。这个公式应该适用于任意量子信道，并且是该信道的函数。尽管HSW编码定理成功地证明了信道的霍勒沃信息是经典通信的可实现速率，但由于存在霍勒沃信息不等于信道容量的例子，量子信道的经典容量问题仍然没有解决。而纠缠辅助经典容量定理的公式（21.3）能等于任意信道的纠缠辅助经典容量，这在一定程度上简化了量子香农理论。

接下来将详细研究纠缠辅助经典容量定理。首先会定义信息处理任务，包括在纠缠辅助量子信道上进行经典通信的一般协议的所有步骤。然后会给出一个受超密编码启发的纠缠辅助经典编码策略的简单例子，这个例子又会启发一般情况下的策略。之后会陈述纠缠辅助经典容量定理，并分别给出直接编码定理和逆定理的证明。直接编码定理的证明会利用强量子典型性和包装引理，证明公式（21.3）中的速率是纠缠辅助经典通信的可实现速率。逆定理的证明会利用AFW不等式、量子数据处理不等式和量子互信息的链式法则等熟悉的工具。

下面是纠缠辅助经典通信的一个简单流程列表：
1. 确定量子信道 $N$。
2. 准备无限供应的纠缠资源。
3. 根据纠缠辅助经典容量定理确定可实现的经典通信速率 $C$。
4. 执行编码策略进行经典信息传输。
5. 接收方进行解码操作。

我们还可以用mermaid流程图来展示纠缠辅助经典通信的基本流程：

graph LR
    A[确定量子信道N] --> B[准备纠缠资源]
    B --> C[确定通信速率C]
    C --> D[执行编码传输]
    D --> E[接收方解码]

综上所述，量子通信中的霍勒沃信息和纠缠辅助经典通信都有着丰富的理论和应用价值，尽管目前仍存在一些未解决的问题，但这些研究为未来的量子通信发展奠定了基础。

量子通信中的霍勒沃信息与纠缠辅助经典通信

纠缠辅助经典容量定理详解

信息处理任务定义

在纠缠辅助量子信道上进行经典通信的一般协议包含多个步骤。首先，发送方和接收方需要共享无限的纠缠资源，这是整个通信过程的基础。然后，发送方根据要传输的经典信息和量子信道的特性，对信息进行编码，将其映射到量子态上。接着，这些量子态通过量子信道传输到接收方。接收方接收到量子态后，利用纠缠资源和特定的解码策略，将量子态还原为经典信息。

简单策略示例

受超密编码的启发，我们可以构建一个简单的纠缠辅助经典编码策略。在超密编码中，利用一个无噪声量子比特信道和一个共享的无噪声纠缠比特，发送者可以传输两个经典比特。在有噪声的量子信道中，我们可以类似地利用共享纠缠来提高经典信息的传输效率。例如，发送者和接收者预先共享一对纠缠态，发送者根据要发送的经典信息对自己手中的纠缠态进行操作，然后将操作后的量子态通过量子信道发送给接收者。接收者结合自己手中的纠缠态和接收到的量子态进行测量和解码，从而恢复出经典信息。

定理陈述

纠缠辅助经典容量定理指出，量子信道 $N$ 的互信息 $I(N)$ 等于其纠缠辅助经典容量。具体而言，$I(N) \equiv \max_{\phi_{AA’}} I(A; B) {\rho}$，其中 $\rho {AB} \equiv N_{A’ \to B}(\phi_{AA’})$，最大化是针对所有形式为 $\phi_{AA’}$ 的纯二部态。这个定理为我们提供了一个明确的公式来计算纠缠辅助下量子信道的经典通信容量。

直接编码定理证明

直接编码定理的证明利用了强量子典型性和包装引理。强量子典型性可以帮助我们确定在量子态集合中，哪些量子态是“典型”的，即具有较高的出现概率。包装引理则用于在有限的量子空间中，合理地安排不同的量子态，以实现高效的信息传输。

具体步骤如下：
1. 选择典型量子态 ：根据强量子典型性，从所有可能的纯二部态 $\phi_{AA’}$ 中选择典型的量子态。这些典型量子态具有较高的概率出现，并且能够有效地代表整个量子态集合。
2. 应用包装引理 ：利用包装引理，将这些典型量子态进行合理的包装，使得它们可以在量子信道中高效地传输。通过这种方式，我们可以证明公式（21.3）中的速率是纠缠辅助经典通信的可实现速率。

逆定理证明

逆定理的证明需要利用一些熟悉的工具，如AFW不等式、量子数据处理不等式和量子互信息的链式法则。

具体步骤如下：
1. 应用AFW不等式 ：AFW不等式可以帮助我们限制量子态之间的相关性，从而对信息传输的速率进行约束。
2. 利用量子数据处理不等式 ：量子数据处理不等式可以保证在量子信道中，信息的传输不会增加其不确定性。通过应用这个不等式，我们可以进一步限制信息传输的速率。
3. 使用量子互信息的链式法则 ：量子互信息的链式法则可以将多个量子系统之间的互信息进行分解和计算。通过使用这个法则，我们可以将纠缠辅助经典通信的速率与量子信道的特性联系起来，从而证明逆定理。

纠缠辅助经典通信的优势与挑战

优势

• 提高通信速率 ：通过共享纠缠资源，纠缠辅助经典通信可以显著提高经典信息的传输速率。例如，在无噪声量子比特信道中，利用超密编码可以将传输速率从一个经典比特提高到两个经典比特。
• 简化容量计算 ：纠缠辅助经典容量定理提供了一个不需要正则化的公式来计算量子信道的经典容量，这在一定程度上简化了量子香农理论。

挑战

• 纠缠资源的制备和保持 ：在实际应用中，制备和保持高质量的纠缠资源是一个巨大的挑战。纠缠态非常脆弱，容易受到环境噪声的影响而发生退相干，从而降低通信的可靠性。
• 解码策略的复杂性 ：为了充分利用纠缠资源，解码策略通常比较复杂。接收者需要结合自己手中的纠缠态和接收到的量子态进行测量和解码，这需要精确的操作和复杂的算法。

总结与展望

量子通信中的霍勒沃信息和纠缠辅助经典通信是当前研究的热点领域。霍勒沃信息的超可加性表明，量子信道的经典容量问题仍然存在许多未解之谜。而纠缠辅助经典容量定理为我们提供了一种有效的方法来提高量子信道的经典通信速率，并简化了容量的计算。

然而，我们也面临着一些挑战，如纠缠资源的制备和保持、解码策略的复杂性等。未来的研究方向可能包括：
1. 开发更高效的纠缠资源制备和保持技术 ：通过改进实验设备和技术，提高纠缠态的制备效率和稳定性。
2. 优化解码策略 ：研究更简单、高效的解码策略，降低解码的复杂性和计算成本。
3. 探索新的量子通信协议 ：结合量子力学的其他特性，开发新的量子通信协议，进一步提高通信的效率和可靠性。

总之，量子通信领域充满了机遇和挑战，随着研究的不断深入，我们有望在量子通信技术上取得更大的突破。

下面是一个总结纠缠辅助经典通信相关内容的表格：
| 项目 | 详情 |
| ---- | ---- |
| 资源不等式 | $\langle N\rangle + \infty[qq] \geq C [c \to c]$ |
| 容量公式 | $I(N) \equiv \max_{\phi_{AA’}} I(A; B) {\rho}$，$\rho {AB} \equiv N_{A’ \to B}(\phi_{AA’})$ |
| 直接编码定理证明工具 | 强量子典型性、包装引理 |
| 逆定理证明工具 | AFW不等式、量子数据处理不等式、量子互信息的链式法则 |
| 优势 | 提高通信速率、简化容量计算 |
| 挑战 | 纠缠资源制备和保持、解码策略复杂性 |

我们再用mermaid流程图来展示纠缠辅助经典通信的研究方向：

graph LR
    A[纠缠辅助经典通信] --> B[提高纠缠资源制备技术]
    A --> C[优化解码策略]
    A --> D[探索新量子通信协议]