18、关于OCT结构参数化的多项式核研究

关于OCT结构参数化的多项式核研究

1. 引言

在图论相关问题的研究中，奇数圈横截（OCT）问题是一个重要的研究对象。对于一些特定的图类，如（簇） - OCT和（余簇） - OCT，在一般情况下，除非NP ⊆ coNP/poly，否则无法获得多项式核。这表明即使对于较大的参数，也不一定能找到多项式核。同时，顶点加权版本的OCT问题，在考虑顶点权重时，以到无边图的顶点删除距离为参数，同样在上述条件下无法获得多项式核。不过，这些参数化问题都是固定参数可处理的。

相关工作方面，Kratsch和Wahlstr¨om利用拟阵理论为ℓ - OCT给出了一个随机多项式核，但该结果缺乏实际的约简规则。而Wernicke在其分支限界算法中使用的OCT约简规则，未在核化框架下分析，也未给出关于图参数的可证明的约简实例大小界限。

2. 预备知识

本文所考虑的图均为简单、无向且有限的图。对于图$G$，$V(G)$和$E(G)$分别表示其顶点集和边集。路径的长度和奇偶性指的是其顶点的数量。对于顶点$v \in V(G)$，其开邻域表示为$N_G(v)$，闭邻域为$N_G[v] := N_G(v) \cup {v}$。集合$S \subseteq V(G)$的开邻域为$N_G(S) := \bigcup_{v \in S} N_G[v] \setminus S$。图$G - S$是从$G$中移除$S$中的所有顶点及其关联边后的结果。用$[n]$表示集合${1, \ldots, n}$。$\binom{X}{n}$表示有限集$X$的所有大小为$n$的子集的集合，$\binom{X}{\leq n}$表示大小至多为$n$的子集的集合，它们的大小分别表示为$\binom{|X|}{n}$和