19、关于OCT结构参数化的多项式核与路径和循环问题的核界研究

关于OCT结构参数化的多项式核与路径和循环问题的核界研究

在图论和参数化复杂性领域，对于各种图问题的多项式核的研究是一个重要的课题。本文将围绕奇数圈横截（OCT）问题的结构参数化多项式核以及路径和循环问题的核界展开探讨。

一、OCT问题的结构参数化多项式核

1. 近似最小删除集
   对于OCT问题的核化，我们假设存在一个到类（bip ∩ Gtw(w)）的删除集X。如果图G的这种最小删除集大小为opt，我们可以在多项式时间内计算出一个大小为O(opt · log³/² opt)的删除集。具体步骤如下：
   • 利用Fomin等人的近似算法，近似得到一个到树宽至多为w的图的删除集Stw(w)。因为Gtw(w)由一组有限的禁止子式刻画，并且至少排除一个平面图作为子式。
   • 在有界树宽图G - Stw(w)中找到一个最小大小的奇数圈横截Soct。由于w是常数，可使用Courcelle定理在多项式时间内完成计算。
   • 取X := Stw(w) ∪ Soct，它就是一个合适的删除集，可用于进行核化操作。

以下是相关引理：
引理9 ：设w ≥ 1为固定整数。存在一个多项式时间算法，以图G为输入，计算出一个集合X ⊆ V(G)，使得G - X ∈ bip ∩ Gtw(w)，且|X| ∈ O(opt · log³/² opt)，其中opt是这种删除集的最小大小。

2. 核化的下界
   使用Bodl