19、路径和循环问题的核界探索

路径和循环问题的核界探索

在参数化复杂度领域，连通性问题如 k - 路径和 k - 不相交路径等扮演着重要的理论和实践角色。本文将深入探讨这些问题在不同结构参数下的多项式核存在性，以及相关的上下界情况。

连通性问题的现状与挑战

连通性问题在参数化复杂度中意义重大。从实践角度看，k - 路径问题在计算生物学中有应用，且涉及的参数较小，为应用参数化算法寻找最优解提供了机会。从理论方面，这些问题推动了强大算法技术的发展，如 k - 不相交路径问题是图子式算法的核心，也是无关顶点技术的来源；解决 k - 路径的颜色编码技术应用广泛且不断发展。然而，在寻找多项式核方面，结果大多为负面。例如，k - 路径问题未能找到多项式核，这推动了核化下界框架的发展。研究表明，在以解的大小 k 作为自然参数化时，连通性要求似乎成为了多项式核化的障碍。

非标准参数的核化研究

为了获得这些问题的有用预处理程序，我们可以研究非标准参数的核化复杂度。早期研究显示，不同的视角可能产生多项式核，如哈密顿循环问题在以输入图的最大叶数为参数时，存在线性顶点核。本文研究了多种结构参数下多项式核的存在性，具体结果如下：
1. 基于二分图匹配的技术 ：引入了一种基于二分图匹配的广泛适用技术，表明长循环及其有向和路径变体、不相交路径和不相交循环问题，在以顶点覆盖 X 为参数时，存在具有 O(|X|²) 个顶点的核。
2. 更强参数下的多项式核 ：对于长循环和长路径问题，推广到“到簇图的顶点删除距离”这一更强参数时，可获得多项式核。核化的关键步骤是使用问题的加权版本，根据权重的二进制表示大小与问题参数的关系来解决