18、多项式核化在结构参数化的奇数圈横截问题中的应用

多项式核化在结构参数化的奇数圈横截问题中的应用

1. 引言

在图论算法研究中，奇数圈横截（OCT）问题是一个重要的研究方向。对于一些结构参数化的OCT问题，我们在寻找多项式核时面临着诸多挑战。例如，(cluster)-oct 和 (co-cluster)-oct 问题，除非 NP ⊆ coNP/poly，否则不存在多项式核。即使对于顶点加权的OCT问题，以到无边图的顶点删除距离为参数，也无法得到多项式核。不过，对于某些特殊的结构参数化，如 (bip ∩ Gtw(w))-oct 问题，我们可以找到多项式核。

2. 预备知识

• 图的基本概念 ：本文考虑的图均为简单、无向且有限的图。对于图 $G$，$V(G)$ 表示顶点集，$E(G)$ 表示边集。路径的长度和奇偶性指的是其顶点的数量。对于顶点 $v \in V(G)$，其开邻域记为 $N_G(v)$，闭邻域记为 $N_G[v] = N_G(v) \cup {v}$。集合 $S \subseteq V(G)$ 的开邻域为 $N_G(S) = \bigcup_{v \in S} N_G[v] \setminus S$。图 $G - S$ 是从 $G$ 中移除 $S$ 中的所有顶点及其关联边后得到的图。
• 集合相关符号 ：用 $[n]$ 表示集合 ${1, \ldots, n}$。$\binom{X}{n}$ 表示有限集 $X$ 中所有大小为 $n$ 的子集的集合，$\binom{X}{\leq n}$ 表示大小至多为 $n$ 的子集的集合，它们的大小分别记为 $\binom{|X|}{n}$ 和 $\binom{|X|}{\l