17、超越平均约束满足与多项式核化研究

超越平均约束满足与多项式核化研究

1. 超越平均约束满足问题概述

在约束满足问题（CSP）领域，超越平均约束满足问题是研究的重点之一。主要涉及布尔MAX - c - CSP和MAX - c - 排列CSP等问题在超越平均情况下的求解算法和核化问题。

1.1 布尔MAX - c - CSP超越平均

1.1.1 算法时间复杂度

对于布尔MAX - c - CSP超越平均问题，有相关算法能在特定时间内求解。例如，对于Max - c - CSP超越平均问题，可在$O(2^{(c(c + 1)/2)k} · m)$时间内解决。具体操作步骤如下：
1. 利用引理1的归约，将具有$m$个约束的Max - c - CSP超越平均问题实例归约为具有$O(2^c · m)$个方程的Max - c - Lin - 2超越平均问题实例。
2. 使用定理2的算法求解得到的Max - c - Lin - 2超越平均问题实例，从而确定给定的c - CSP是否存在权重至少为AVG + k的赋值。
3. 若要找到Max - c - CSP超越平均问题的实际解，可使用引理1证明中给出的变换。

1.1.2 混合算法

每个布尔Max - c - CSP都存在一个混合算法，对于任意$\epsilon > 0$，在任何实例I上，该算法会输出以下两种结果之一：
- 在$O^*(2^{c(c + 1)\epsilon m/2})$时间内输出I的最优解。
- 在多项式时间内输出I的一个$(\rho + \epsilon/2^{c + 1})$近似解，其中$\rho$是CSP的均匀随机赋值满足的加权约束的