16、超越平均约束满足度的改进参数化算法

超越平均约束满足度的改进参数化算法

在许多约束满足问题（CSP）中，随机分配算法往往能达到最佳近似比。例如，对于Max - E3 - Sat问题，简单的随机分配可实现7/8的近似比，并且除非P = NP，否则对于任意ε > 0，不存在多项式时间的(7/8 + ε)近似算法。对于有界arity的排列CSP问题，在唯一游戏猜想（UGC）的假设下，给定随机分配（即排列）满足约束的期望比例ρ，对于任意ε > 0，不存在(ρ + ε)近似算法。

1. 约束满足问题概述

约束满足问题是一种通用的语言，可用于表达许多组合问题，如图着色、可满足性和各种排列问题。一个CSP实例包含变量集V、变量的域D和约束集C，目标是为V中的每个变量从D中分配一个值，以最大化满足的约束数量。

常见的CSP问题包括布尔CSP（域D为{-1, +1}）和排列CSP（域的大小等于|V|，且分配要求是双射）。由于求解CSP问题通常是NP难的，因此人们关注是否存在高效的近似算法。许多约束满足问题存在硬度阈值，即获得满足一定比例最优约束的可行解相对容易，但找到稍好一点的解却很困难。

例如，Max - E3 - Sat问题中，给定一个所有子句都恰好有三个文字的CNF公式，均匀随机分配能满足7/8的子句，但Håstad证明，对于任意ε > 0，满足7/8 + ε的子句是NP难的。类似的问题还包括Max - Ec - Sat（c ≥ 3）、Max - Ec - Lin - 2（c ≥ 3）和Ec - Set Splitting（c ≥ 4）等。对于排列CSP问题，在UGC假设下也有类似的结果，如Betweenness问题，均匀随机排列能满足三分之一的约束，且在UGC假设下难以获得更好的近似比。