10、图收缩提高最小度问题研究

图收缩提高最小度问题研究

1. 研究概述

在图论中，度可收缩性（Degree Contractibility，DC）和加权度可收缩性（Weighted Degree Contractibility，WDC）问题是重要的研究方向。通过对不同参数组合下这两个问题的复杂度进行研究，我们得到了一系列结果，如下表所示：
| 输入参数 | DC | WDC |
| ---- | ---- | ---- |
| d, k | NP - 完全 | NP - 完全 |
| d, k | W[1] - 难 | FPT |
| k, d | para - NP - 完全 |? |
| d, k | FPT | FPT |

其中，“?”表示该情况的复杂度尚未确定。

2. 预备知识

• 图的基本概念 ：对于图 (G)，其顶点集记为 (V_G)，边集记为 (E_G)。若不会引起混淆，可省略下标。我们只考虑无环且无多重边的无向有限图。
  • 邻接与度 ：若 (uv \in E_G)，则顶点 (v) 是顶点 (u) 的邻点。顶点 (u) 的邻域 (N_G(u) = {uv | v \in V_G})，顶点 (u) 的度 (d_G(u) = |N_G(u)|)。对于加权图 (G)，边权重为 (w)，顶点 (u) 的加权度 (d^w_G(u) = \sum_{v\in N(u)} w(uv))。
  • 子图与收缩 ：子集 (U \subseteq V) 若任意两点