31、简单图最小割与广义稳定分配问题研究

简单图最小割与广义稳定分配问题研究

1. 简单图最小割问题分析

在研究简单图的最小切割问题时，为了得到 $P(Kl ≥ kn)$ 的估计值，我们考虑一些能推出特定条件的情况。假设存在常数 $0 < ε < 1$，使得不等式 $\tau_0 = δ_0 ≤ (1 - ε) \cdot \frac{M_i}{N_i}$ 成立。根据引理 1 可知，$M_{i + 1} ≤ \tau_i \cdot N_i ≤ δ_0 \cdot N_i ≤ (1 - ε) \cdot M_i$。要满足上述不等式，可要求 $δ_0 ≤ γ \cdot p \cdot (n - 1)$ 且 $\frac{γ \cdot p \cdot (n - 1)}{1 - ε} ≤ \frac{M_i}{N_i}$，其中 $0 < γ < 1$ 为选定常数。

对于 $i ≥ 0$ 且 $\tau := γ \cdot p \cdot (n - 1)$，定义以下事件：
- $A$：$δ_0 ≤ τ$
- $B_i$：$\frac{\tau}{1 - ε} ≤ \frac{M_i}{N_i}$
- $C_i$：$N_i < \sqrt{n}$

令 $D_1^i$ 为 $B_i$ 和 $C_i$ 的并集，$D_0^i$ 为其补集。另外，设 $\Sigma_l := {0, 1}^l$ 是长度为 $l$ 的所有二进制字符串的集合，$\Sigma_{l,k} ⊆ \Sigma_l$ 是至少包含 $k$ 个 “1” 的字符串子集。对于 $x ∈ \Sigma_{l,k}$，$x_i$ 表示 $x$ 的第 $i$ 个分量。通过 $D(x) := \prod_{i = 1}