抽象代数学习笔记（1） 集合

1、集合

“集合”这个概念很难给出定义。“集合”被提出不久后，围绕集合的各种悖论也接踵而至，这里给出一个比较有名的悖论：

$$S=\{s|s\notin S\}$$
如果s是集合S中的元素，那么根据S的定义，它不属于S；如果s不是集合S中的元素，那么根据S的定义，它属于S，于是一个“自相矛盾”的局面产生了。这就是著名的罗素悖论，相关的悖论还有很多，这些悖论都是围绕集合的定义产生的。后来，为了解决这些问题，数学家们提出了公理集合论，这是后话，属于集合论的范畴，这里不展开讨论。

抽象代数是代数的一个分支，而研究代数，其实就是研究集合以及定义在这个集合之上的运算。因此在学习抽象代数时只需要搞清楚集合由哪些元素构成，一个元素是否属于这个集合即可。

首先给出集合相等的定义：如果两个集合拥有相同的元素，那么两个集合相同。记作：$A=B$

2、子集

集合A是集合B的子集，当且仅当A中的元素一定也是B中的元素，记作 A⊆B