抽象代数学习笔记(14)商群

本文介绍了商群的概念,从不变子群出发,探讨等价关系如何导出群的商集,并通过证明展示了商群的运算性质。内容包括商群的定义、定理证明以及同态映射和同态基本定理的应用。

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上一次提到“商”这个字眼,还是在讲商集的时候。我们将商集看做是以等价关系对集合的一个划分。现在我们更进一步,提出商群的概念。

如果 NN 是不变子群,那么利用 N 可以导出 GG 上的一个等价关系,  a   b 当且仅当 a1bNa−1b∈N ,也就是 a,ba,b 同属于 NN 的一个左陪集。

(证明:
首先 a 1 a N ,说明关系满足自反性;其次,因为a1bNa−1b∈N,所以a(a1b)a1=ba1N,b(a1b)b1=ba1Na(a−1b)a−1=ba−1∈N,b(a−1b)b−1=ba−1∈N,满足对称性;a1bN,b1cNa−1b∈N,b−1c∈N,则a1bb

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