56、格问题多项式近似因子复杂度探究

格问题多项式近似因子复杂度探究

1. 格问题复杂度猜想

许多人猜测，是否存在比LLL算法指数因子略优的算法来解决格问题，答案很可能是否定的。这一猜想是基于格的密码构造的核心，例如Ajtai的构造。若不认为该问题是NP难的，要证明其难度，一个有前景的方向是将格问题与其他被认为困难的问题联系起来。比如，从因式分解到GapSVP$_{n^2}$的归约，将为该猜想提供有力证据，也能表明基于格的密码系统至少和基于因式分解的密码系统一样安全。

2. 整体内容概述

• The Goldreich–Goldwasser Protocol ：证明定理2，包含使证明严谨的技术细节，特别是如何处理周期分布，这些细节在许多其他格相关结果中也会出现。
• Containment in coNP ：给出定理1证明的概要，包含证明的重要思想，但省略技术声明的证明。
• Zero - Knowledge Proof Systems ：讨论格问题的零知识证明系统，特别是Micciancio和Vadhan的证明者高效零知识协议。
• 附录15 ：说明上述两个定理在何种意义上意味着“不可近似性的限制”，以及如何将结果扩展到GapSVP。

3. The Goldreich–Goldwasser Protocol

为证明定理2，先定义类AM：
- 定义 ：一个承诺问题属于AM，如果存在一个协议，