53、格上计算问题的不可近似性结果与相关研究

格上计算问题的不可近似性结果与相关研究

在密码学和计算理论领域，格上的计算问题一直是研究的热点。本文将介绍格上一些重要计算问题的不可近似性结果，以及相关的研究进展和挑战。

1. 格的基本概念与问题概述

一个 $n$ 维格 $L$ 是一组向量 ${\sum_{i = 1}^{n} x_ib_i | x_i \in \mathbb{Z}}$，其中 $b_1, b_2, \cdots, b_n \in \mathbb{R}^m$ 是一组线性无关的向量，称为格的基（同一个格可能有多个基）。格上有多个重要的计算问题，包括最短向量问题（SVP）、最近向量问题（CVP）、带预处理的最近向量问题（CVPP）、覆盖半径问题（CRP）、最短独立向量问题（SIVP）和最短基问题（SBP）。这些问题大多是难解的，甚至计算近似解也很困难。

2. 最短向量问题（SVP）

SVP 是格上研究最多的计算问题之一，给定一个 $n$ 维格的基，需要找到格中最短的非零向量。该问题自高斯时代就开始被研究，高斯给出了适用于二维格的算法，1842 年狄利克雷提出了任意维度的一般问题。闵可夫斯基定理涉及格中短非零向量的存在性。

• 近似算法进展 ：Lenstra、Lenstra 和 Lovász 给出了在 $2^{n/2}$ 因子内近似 SVP 的多项式时间算法，该算法有众多应用，如分解有理多项式、破解基于背包的密码等。Schnorr 将近似因子改进到 $2^{O(n(\log \log n)^2 / \log n)}$。Ajtai、Kumar 和 Sivakumar 给出了多项式时间 $2^{O(n \log \log n / \l