55、格问题近似复杂度的深入探讨

格问题近似复杂度的深入探讨

1. 格问题概述

格是由 $n$ 个线性无关向量 $v_1, \cdots, v_n$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中的所有整数组合构成的集合，这些向量被称为格的基。长期以来，数学家们一直在研究格，而随着 Lenstra、Lenstra 和 Lovász 发现 LLL 算法，计算机科学界也对格产生了浓厚兴趣。许多问题都可以表述为关于格的问题，例如整数规划、有理系数多项式因式分解、整数关系查找、整数分解和丢番图逼近等。近年来，由于 Ajtai 证明了格问题具有最坏情况到平均情况的可归约性，这一特性对密码学非常有价值，因此格问题的研究再次受到关注。

从计算复杂度的角度来看，格问题，如最短向量问题（SVP）和最近向量问题（CVP），非常有趣。一方面，通过 LLL 算法及其后续改进，我们能够有效地将格问题近似到基本为指数级的因子，即 $2^{n(\log \log n)^2 / \log n}$（$n$ 是格的维度）。如果允许随机化，近似因子可以略微提高到 $2^{n \log \log n / \log n}$。另一方面，我们知道对于某个 $c > 0$，除非 $P = NP$ 或发生其他不太可能的事件，否则没有高效算法能够将格问题近似到 $n^{c / \log \log n}$ 以内。

2. 从 SAT 到 GapCVP 的归约

设 $n$ 是 SAT 实例的大小。通过将从 SAT 到标签覆盖的归约与从标签覆盖到 GapCVP 的归约相结合，我们可以得到一个从 SAT 到 $GapCVP_{1/20R^{\beta/2}}$ 的归约，该归约的运行时间为 $n^C \log R$（$C$ 为某个常数）。选择 $R = 2