10、图嵌入与机器人移动问题的常数因子近似算法

图嵌入与机器人移动问题的常数因子近似算法

在图论和机器人学领域，图嵌入和机器人移动问题一直是研究的热点。本文将深入探讨图嵌入算法以及机器人移动问题的常数因子近似算法，旨在为相关领域的研究和应用提供有价值的参考。

图嵌入相关理论

• 映射的局部性 ：映射 ˆφ 是局部的。其第一个条件可由 φ 是局部的以及 ˆφc(x) ≤ φc(x)（对于所有的 c 和 x）直接得出；第二个条件则由引理 3 推出。
• 树带宽图嵌入
  • 树带宽的定义 ：给定图 G = (V, E)，若存在根树 T = (I, F) 和集合 {Xi ⊂ V | i ∈ I}，满足 ∀i, |Xi| ≤ k，V = ⋃Xi，Xi 互不相交，∀(u, v) ∈ E，u 和 v 位于同一集合 Xi 中，或者 u ∈ Xi 且 v ∈ Xj 且 (i, j) ∈ F，并且若 i 在 T 中有父节点 p(i)，则 ∀v ∈ Xi，∃u ∈ Xp(i) 使得 d(u, v) ≤ k，那么称图 G 具有树带宽 k，T 称为 G 的分解树。
  • 嵌入算法 ：存在一种随机算法，可将树带宽为 k 的图嵌入到 ℓp 中，期望畸变率为 O(k³ log k + kρ)，其中 ρ 是将分解树嵌入到 ℓp 中的畸变率。在 ℓ1 情况下，树的简单嵌入 ρ = 1；在 ℓ2 情况下，有界性保证 ρ = O(√log log n)。
  • 维度降低 ：可应用定理 2 降低上述嵌入