8、运输与路线规划中的常数因子近似问题分析

运输与路线规划中的常数因子近似问题分析

1. 常数因子近似概述

在运输与路线规划问题中，对于燃料不受限制的所有路线和运输变体，它们都属于 poly - APX 类，但没有一个能有多项式时间近似方案。这就产生了两种可能：要么它们允许常数因子近似，从而属于 APX 类；要么不属于 APX 类，而是属于 poly - APX \ APX 类。下面将证明某些情况下常数因子近似是可行的。

2. 无界容量情况的常数因子近似

2.1 定理及证明

对于 Plan - Transport∞+ - [∗, ∗] 问题，其规划问题可通过常数因子近似。
证明步骤如下：
1. 给定一个 Transport∞+ - [∗, ∗] 任务 T，假设所有可移动对象都是目标可移动对象。令 G 为任务 T 的路线图，以移动成本函数加权（此运输变体中移动成本与移动的移动对象无关）。
2. 计算交付图 Gd：交付图是 G 的子图，其中每个可移动对象的起始位置都与其对应的目标位置相连。计算最小加权交付图的问题是最小点对点连接问题，可 2 - 近似。因此，能在多项式时间内计算出成本至多为最小加权交付图成本两倍的交付图 Gd，即 w(Gd) ≤ 2m∗(T)。同时，可假设 Gd 的每个连通分量都包含一个可移动对象的初始位置，不满足此条件的连通分量可安全移除。
3. 计算拾取图 Gp：拾取图是 G 的子图，其中每个可移动对象的初始位置都与某个移动对象的初始位置相连。通过扩展 G 得到修改后的路线图 ˜G，计算最小加权拾取图的问题是最小斯坦纳树问题，也可 2 - 近似。所以能在多项式时间内计算出成本至多为最小加权拾取图成本两倍的拾取图 Gp，即 w(Gp) ≤ 2