34、整数规划中的LLL算法及相关问题研究

整数规划中的LLL算法及相关问题研究

1. 问题转化与CSVP问题

在整数规划的研究中，我们可以从一些已知条件推导出沿整数方向 $d$ 的 $E(C; c)$ 的宽度与向量 $(C^T)^{-1}d$ 长度的关系。具体而言，$E(C; c)$ 沿整数方向 $d$ 的宽度是向量 $(C^T)^{-1}d$ 长度的两倍，即：
[w(E(C; c); d) = 2 \cdot |(C^T)^{-1}d|]
同时，向量 $v = (C^T)^{-1}d$ 是格 $L(C)$ 的对偶格 $L^ (C)$ 中的格向量，其中 $L^ (C) = {(C^T)^{-1}x | x \in \mathbb{Z}^n}$。这样，问题EIP就被转化为了所谓的CSVP问题：

给定一个非奇异有理矩阵 $B \in \mathbb{Q}^{n\times n}$ 和一个有理向量 $u \in \mathbb{Q}^n$，计算格 $L(B)$ 中满足 $|x - u| \leq 1$ 的格向量 $x$，或者确定对偶格 $L^*(B)$ 中满足 $|w| \leq f_3(n)$ 的非零向量 $w$。

我们令 $f_2(n) = 2 \cdot f_3(n)$，通过回溯可得 $f(n) = 4 \cdot n^{3/2} \cdot f_3(n)$。需要注意的是，在欧几里得向量空间 $E$ 中寻找对偶格 $L^*(B)$ 中的短向量，等价于寻找 $E$ 中的超平面 $H$，使得格 $L(B)$ 包含在 $H$ 的广泛间隔平移中。

2. 使用Lenstra算法解决CSVP问题

假设 $B = (b_1, \cdots, b_n)