42、对称张量分解与特征问题的数值算法研究

对称张量分解与特征问题的数值算法研究

1. 基变换后切片的迹计算

在张量运算中，基变换是一个重要的操作。对于张量 (T, T’ \in \mathbb{C}^{n\times n\times n})，若存在基变换 (A \in M_n(\mathbb{C})) 使得 (T’ = (A\otimes A\otimes A)\cdot T)，这里的符号 (\otimes) 表示张量积。

为了计算基变换后张量切片的迹，我们有如下算法：
- 算法 2：基变换后切片的迹（TSCB）
- 输入 ：一个 3 阶对称张量 (T \in \mathbb{C}^{n\times n\times n})，一个矩阵 (V = (v_{i,j}) \in \mathbb{C}^{n\times n})，设 (T_1, \cdots, T_n) 为 (T) 的切片。
- 步骤 ：
1. 在浮点机器上计算 (W = V^T V)。
2. 对于所有的 (m, k \in [n])，在浮点机器上计算 (x_{m,k} = (W T_m) {k,k})。
3. 对于所有的 (m \in [n])，在浮点机器上计算 (x_m = \sum {k = 1}^{n} x_{m,k})。
4. 对于所有的 (i \in [n])，在浮点机器上计算 (\tilde{s} i = \sum {m = 1}^{n} v_{m,i} x_m)。
- 输出 ：(\tilde{s}_