35、LLL算法在整数规划与RSA问题中的应用

LLL算法在整数规划与RSA问题中的应用

1. 整数优化问题与LLL算法

整数优化问题在计算领域具有重要地位。在固定约束数量的情况下，整数线性优化问题能够通过线性数量的算术运算来解决。其核心思路是通过确定一个参数 $\tau \geq 0$，使得单纯形 $\dot{V},\epsilon W$ 的宽度刚好超过扁平度界限。而该单纯形的宽度大致（相差一个常数因子）等同于格 $L(A_{\epsilon})$ 中最短向量的长度，其中矩阵 $A_{\epsilon}$ 定义如下：
[
A_{\epsilon} =
\begin{pmatrix}
\tau w_1^T \
\tau w_2^T \
v_1
\end{pmatrix}
]
我们需要找到参数 $\tau$，使得 $L(A_{\epsilon})$ 的最短向量处于 $f(n) + 1$ 和 $\alpha \cdot (f(n) + 1)$ 之间（$\alpha$ 为常数），这便是参数化最短向量问题。

为描述该问题，引入如下符号：对于 $n \times n$ 矩阵 $A = (a_{ij}) {i,j}$，定义矩阵 $A {\epsilon,k} = (a_{ij}) {\epsilon,k}^{i,j}$ 为
[
a {\epsilon,k}^{ij} =
\begin{cases}
\tau \cdot a_{ij}, & \text{如果 } i \leq k \
a_{ij}, & \text{否则}
\end{cases}