29、LLL：有效丢番图逼近的工具

LLL：有效丢番图逼近的工具

在数论领域，丢番图逼近是一个重要的研究方向，而LLL算法在其中发挥着关键作用。本文将介绍几种利用LLL算法解决丢番图方程的方法，包括Baker和Davenport的方法、与ABC猜想相关的应用，以及在其他丢番图方程中的应用，最后还会涉及代数数逼近的内容。

1. Baker和Davenport的方法

Baker和Davenport的方法源于对一组联立Pell方程的求解。考虑如下联立Pell方程组：
[
\begin{cases}
x^2 - vy^2 = a \
x^2 - v’z^2 = a’
\end{cases}
]
对于Pell方程 (x^2 - vy^2 = a)，可以确定一个单位 (\rho \in \mathbb{Q}(\sqrt{v})) 和 (\mathbb{Q}(\sqrt{v})) 的一个有限元素集 (S)，使得该方程的任何解的 (x) 值具有形式 (x_d = \mu\rho^d + \frac{a}{\mu\rho^d})，其中 (\mu \in S) 且 (d) 为整数。对于方程 (x^2 - w z^2 = a’)，类似地定义 (\rho’) 和 (S’)。

通过将两个不同的 (x) 表达式相等，对于每一对 ((\mu, \mu’) \in S \times S’)，我们得到一个关于未知整数 (d, d’) 的方程：
(\mu\rho^d + \frac{a}{\mu\rho^d} = \mu’\rho’^{d’} + \frac{a’}{\mu’\rho’^{d’}})
假设 (\rho, \rho’ > 1)（否则用 (\p