27、LLL算法：有效的丢番图逼近工具

LLL算法：有效的丢番图逼近工具

1. 引言

在数论领域，丢番图逼近是一个重要的研究方向，旨在寻找实数或复数的良好有理逼近。LLL（Lenstra-Lenstra-Lovász）算法作为一种强大的工具，在丢番图逼近中发挥着关键作用。本文将深入探讨LLL算法在不同场景下的应用，包括p - 进数的逼近、Mertens猜想的反证以及线性关系的求解等。

2. p - 进数的丢番图逼近

2.1 基本概念

在丢番图逼近中，对于实数或复数的逼近结果通常可以推广到p - 进数的情况。对于给定的p - 进数x，寻找其小高度的良好有理逼近，即找到两个小整数 和q，使得qx - 的p - 进赋值尽可能大，等价于qx - ` ≡ 0 (mod p^k)，其中k尽可能大。

2.2 相关定理

• 定理10 ：设x₁, …, xₙ为p - 进整数，k为正整数。对于所有整数Q，存在0 < q ≤ Qⁿ，使得|qx mod p^k| < p^k / Q。
• 定理11 ：设Q为正整数，x为p - 进数。设q为(x mod p^k) / p^k的收敛项中分母小于Q的最大分母，则|qx mod p^k| ≤ p^k / Q。
• 定理12 ：给定素数p、整数k、n个p - 进整数(x₁, …, xₙ)和正整数Q，存在一个确定性多项式时间算法，能找到整数q ≤ 2ⁿ/⁴Qⁿ，使得max₁≤i≤ₙ |qxi mod p^k| ≤ 2ⁿ/⁴Q⁻¹。