26、LLL算法：有效的丢番图逼近工具

LLL算法：有效的丢番图逼近工具

1. 引言

在数论和计算数学领域，丢番图逼近是一个重要的研究方向，旨在寻找实数的良好有理逼近。LLL（Lenstra-Lenstra-Lovász）算法作为一种强大的工具，在解决最短向量问题（SVP）和最近向量问题（CVP）方面发挥着关键作用。本文将深入探讨LLL算法的原理、性质及其在丢番图逼近中的应用。

2. LLL约化基

一个基 ((b_1, \cdots, b_d)) 被称为LLL约化基，需满足以下两个条件：
- 对于所有 (k < i)，(|\mu_{ik}| \leq \frac{1}{2})；
- 对于所有 (i)，(\frac{3}{4}|b_i^ | \leq |\mu_{i + 1, i}b_i^ + b_{i + 1}^*| )。

从实际角度来看，第二个条件（通常称为Lovász条件）结合第一个条件意味着 (|b_{i + 1}^ | \geq \frac{|b_i^ |}{2})。好的基几乎是正交的，即序列 (|b_i^*| ) 不应下降过快，这是格基约化的核心思想之一。

此外，还可以定义 (t) - LLL约化的概念，其中第二个（Lovász）条件中的 (\frac{3}{4}) 被 (1 > t > \frac{1}{4}) 所取代。

3. 最短向量问题（SVP）和最近向量问题（CVP）

LLL算法的一个主要特点是它是最短向量问题（SVP）的多项式时间逼近算法，同时也能为最近向量问题（CVP）提供多项式时间逼近算法。

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