4、图覆盖与识别问题的算法优化与分析

图覆盖与识别问题的算法优化与分析

在图论算法领域，顶点覆盖问题是一个经典且重要的研究方向。本文将围绕总顶点覆盖（Total Vertex Cover，TVC）问题的近似算法展开，介绍简单分支算法和改进分支算法，并探讨其相关性质和应用。

简单分支标记算法

简单分支标记算法的输入为 (G, μ, k, ws - count) ，其主要步骤如下：
1. 应用标记更新规则 ：对图中的顶点标记进行更新。
2. 低度数约简规则 ：若可能，应用低度数约简规则，然后回到步骤1。
3. 恶化步骤 ：若可能，应用恶化步骤，再回到步骤1。
4. 终止条件判断 ：若图为空或参数 k 不再为正，则停止算法。
5. 分支操作 ：选择一个最高度数且 μ(x) ≤ 0 的顶点 x ，进行分支操作，要么增加 x 的标记，要么删除 x 并增加其所有邻居的标记。

该算法的恶化步骤是正确的，因为在某些情况下，至少有两个顶点必须包含在任何精确的总覆盖中。通过额外的记录（使用计数器 ws - count ），可以确保在分支中增加某个顶点 y 的标记时，参数 k 最终至少减少2。由于分支顶点的度数至少为2，该算法是一个