48、有限图线性拓扑结构中叶子节点数量问题的研究

有限图线性拓扑结构中叶子节点数量问题的研究

1. 逻辑语言与图性质表达

在图论中，我们使用逻辑语言来表达图的性质。对于逻辑语言 (L \in {MSO1, MSO2})，若存在 (L) 中的公式（句子）能表达某个图性质，则称该图性质是 (L) 可表达的。当我们用 (MSO) 表达图性质时，用 (G \models \varPhi) 表示“(\varPhi) 对图 (G) 的顶点和关系成立”。

Courcelle 定理指出，若 (\varphi) 是一个固定长度为 (\ell) 的 (MSO2) 公式，用于表达图性质，那么对于树宽受固定正整数 (k) 限制的图类 (C) 中的任意图 (G)，存在一个算法，以 (G) 及其树分解为输入，能在 (O(f(\ell, k) \cdot n)) 时间内判定 (G \models \varphi)，其中 (f) 是一个可计算函数。

类似地，每个 (MSO1) 可表达的图性质，在有界团宽的图上可以在线性时间内判定。需要注意的是，每个 (MSO1) 可表达的图性质也能由 (MSO2) 表达，但反之不成立，例如哈密顿路径的存在性只能在 (MSO2) 中表达。

2. 复杂度分析

我们考虑四个自然的参数化问题：
- k - Max - LLT ：寻找具有至少 (n - k) 个叶子节点的线性拓扑（LT）。
- k - Min - LLT ：寻找具有至多 (n - k) 个叶子节点的线性拓扑（LT）。
- Dual Min - LLT ：对偶的最小叶子节点线性拓扑问题。